Cualquier grupo finito es un subgrupo de un grupo ortogonal

Question

Demuestre que cualquier grupo finito de orden$n$ es isomorfo a un subgrupo de$\mathbb{O}(n)$, el grupo de$n\times n$ matrices reales ortogonales.

Intento:

Deje$G$ ser un grupo de orden$n$. Entonces$G$ es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico$S_n$.

Pero, ¿cómo llegar más lejos?

Answer 1

actúa en $S_{n}$ $\mathbb{R}^n$ la ecuación $$ \sigma . ei= e{\sigma(i)},$ $ $\lbrace e_i \vert i= 1,2,...,n\rbrace $ Dónde está la base estándar de $\mathbb{R}^n$ y $\sigma \in S_n$. Por lo tanto tenemos un grupo de morfismo $$\varphi : S_n \rightarrow GL_n(\mathbb{R})$$ defined by $ \varphi(\sigma)(ei) = e{\sigma(i)}. $ es fácil comprobar que $\varphi$ es uno. Tenga en cuenta que $\varphi(S_n) \subset \mathbb{O}(n)$, $~= ~$.

Answer 2

$S_n$ está incrustado en el conjunto de n x n de las matrices como permutación de matrices. Una permutación de la matriz representa una permutación por tener un 1 en la fila i y la columna j, si la permutación envía de i a j, y cero en caso contrario. (También se puede incrustar en ellos por el cambio "fila" y "columna" en la frase anterior.) Permutación de matrices son ortogonales, y esta correspondencia es un bijection que los mapas de permutación de composición para la multiplicación de la matriz, es decir, es un isomorfismo.