Considere la posibilidad de la célula compleja $X$ que es el círculo con dos discos conectados a lo largo de la fijación de los mapas de grado $3$$5$. Me gustaría calcular cohomology con coeficientes enteros, utilizando celulares cohomology y el universal coeficiente teorema.
En primer lugar, el celular complejo de cadena es como sigue (de grado $2$ grado $0$):
$$ 0 \to\mathbb Z\oplus\mathbb Z \to \mathbb Z \to \mathbb Z \to 0$$ donde la primera (no trivial, grado $2$) mapa de los límites envía $(a,b) \to (3a+5b)$, mientras que el grado $1$ mapa es simplemente $0$.
Calcular la homología, obtenemos $H_0(X) \cong H_2(X) \cong \mathbb Z$$H_1(X) \cong \mathbb Z/3\times\mathbb Z/5$.
Dualizing el complejo para calcular cohomology, tenemos (de grado $0$ grado $2$): $$0 \to \mathbb Z \to \mathbb Z \to \mathbb Z\oplus \mathbb Z \to 0$$ donde el final no trivial mapa ahora es $1 \to (3,5)$ y los otros mapas son triviales. El cómputo de la cohomology, ahora tenemos: $$H^2(X) \cong H^0(X) \cong \mathbb Z$$ desde $(3,5),(1,2)$ constituye una base para $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ mientras $H^1(X)$$0$.
Ahora, permítanme calcular el cohomology anillos utilizando UCT:
Tenemos la secuencia exacta: $$0 \to Ext^1(H_0(X),\mathbb Z)\to H^1(X) \to Hom(H_1(X),\mathbb Z)$$ y ya que tanto el $Ext$ $Hom$ términos desaparecer, $H^1(X) \cong 0$ como se esperaba.
Por otro lado, también tenemos: $$0 \to Ext^1(H_1(X),\mathbb Z) \to H^2(X) \to Hom(H_2(X),\mathbb Z)\to 0.$$
Aquí, sin embargo, el $Hom$ plazo es$\mathbb Z$, mientras que el $Ext$ plazo es$\mathbb Z/3\mathbb Z \oplus \mathbb Z/5\mathbb Z$, de modo que $H^2 \cong \mathbb Z\oplus \mathbb Z/3\oplus\mathbb Z/5$ que no coincide con mi anterior commputation.
¿De dónde me salen mal?
