En general, todavía hay a menudo no primaria la solución a este tipo de integrales.
En este caso, sin embargo, afortunadamente, no hay una forma relativamente sencilla para evaluar la integral de $\mathrm{li}(x)$, la participación de la integración por partes primero romper el nonelementary integral en el interior y a la esperanza de un camino para reorganizar en una forma más simple.
Así, utilizando integración por partes, nos encontramos con
$$\int \mathrm{li}(x) \, dx = x \, \mathrm{li}(x) - \int \frac{x}{\log x} \, dx.$$
Podemos evaluar esta nueva integral mediante la sustitución de $u = \log x$, lo que conduce a $x = e^u$$dx = e^u \, du$.
\begin{align}
\int \frac{x}{\log x} \, dx & = \int \frac{e^u}u e^u \, du \\
& = \int \frac{e^{2u}}u \, du.
\end{align}
Esto es en sí mismo un nonelementary integral, pero un común especial existe una función que puede describir: la integral exponencial, $$\mathrm{Ei}(x) \equiv - \int_{-z}^\infty \frac{e^{-t}}t \, dt.$$
En este caso, sin embargo, estamos a sólo preocuparse de la integral indefinida, tan sólo tendremos que utilizar
$$\mathrm{Ei}(x) \equiv \int \frac{e^x}x \, dx.$$
Así, el uso de esta, nuestra integral se convierte en con $v = 2u$
\begin{align}
\int \frac{e^{2u}}u \, du & = \int \frac{e^v}{\frac{v}2} \, \frac{dv}2 \\
& = \int \frac{e^v}v \, dv \\
& = \mathrm{Ei}(v) \\
& = \mathrm{Ei}(2 \log x).
\end{align}
Sustituyendo esto en nuestro original de la integral, obtenemos
$$\int \mathrm{li}(x) \, dx = x \, \mathrm{li}(x) - \mathrm{Ei}(2 \log x) + C.$$
