Que $n \in \mathbb{N}$. Supongamos que $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es un diffeomorphism de $C^\infty$. Sea $J_f: \mathbb{R}^n \to \text{M} (n, \mathbb{R})$ jacobiano de $f$. ¿Es el mapa $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ definidas en $F(x) = [J_f(x)]^{-1}\cdot f(x)$ un diffeomorphism de $C^\infty$?
Respuesta
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No creo que esto es verdad incluso para $\mathbb{R}$.
Considere la función $x^3 + e^x$. Esta función es claramente suave y bijective, y a la inversa es suave por la aplicación repetida del teorema de la función inversa, como la derivada no tiene ceros, y el teorema de la función inversa se puede afirmar arbitrariamente a muchos derivados.
Sin embargo, para nosotros aquí, el Jacobiano es simplemente la derivada, y su mapa de $F$ es sólo $f/f'$. Pero para nosotros, esto es $\frac{x^3 + e^x}{3x^2 + e^x}$ que no es inyectiva. En particular, se alcanza el valor de$1$$0$, pero también en $x = 3$
