Cuando una función holomorfa entre superficies hiperbólicas es un mapa de cobertura.

Question

Estoy estudiando Milnor del libro "la Dinámica de una Variable Compleja", y afirma que este problema para el lector en medio de la prueba de selección del Teorema:

Si $S$ $S'$ son dos hiperbólica de las superficies de Riemann (es decir, ambos son universalmente cubiertos por la central unitaria de disco $\mathbb{D}$) y deje $f: S \longrightarrow S'$ ser un holomorphic función entre ellos. Deje $\phi_1: \mathbb{D} \longrightarrow S$ $\phi_2 : \mathbb{D} \longrightarrow S'$ ser su universal que cubre los mapas.

Hacer alguna elección de los puntos, podemos levante $f$ a una función $F: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{D}$, de manera tal que el siguiente diagrama conmuta:

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \mathbb{D} @>{F}>> \mathbb{D}\\ @V{\phi_1}VV @VV{\phi_2}V\\ S @>{f}>> S' \end{CD}

La declaración de Milnor del libro es:

f es una cubierta mapa si y sólo si F es una conformación automorphism.

Suponiendo que f es una cubierta de mapa, se puede utilizar la característica universal de $\phi_2 $ a concluir que F debe ser una de conformación automorphism.

La otra cara de esto es que me molesta. He tratado de hacer algunos de los argumentos con que $\phi_1$ es un local homeomorphism o que $f$ está abierto (ya que es holomorphic), pero no podía hacerlo bien.

Por lo tanto, la pregunta es cómo demostrar este hecho: Si $F$ es una de conformación automorphism, a continuación, $f$ es una cubierta mapa.

Aceptar todas las sugerencias y observaciones para probar esto.

Nota: no sé si este resultado es generalizable para dimensiones mayores o para el buen caso ($S$, $S'$ suave colectores y $f$, $F$ ser diferenciable). Algunos contraejemplos en esas direcciones sería bueno también.

Answer 1

Voy a seguir la prueba como en Milnor del libro. Así que hemos métrica de Poincaré en las superficies y la cubierta de mapas de Riemann cubierta.

Si $F$ es una de conformación isomorfismo, entonces $f$ es una isometría.

Ahora, sólo use un surjective local isometría con completo dominio es siempre una de Riemann cubriendo mapa.

Observación: Este hecho acerca de la geometría de Riemann en el final se puede encontrar en Manfredo del libro, por ejemplo, en la sección sobre el teorema de Hadamard. La declaración precisa es la siguiente.

Deje $M$ completa de Riemann colector y deje $f:M \to N$ ser un local diffeomorphism en un colector de Riemann $N$ que tiene la siguiente propiedad: Para todos los $p\in M$ y todos los $v\in T_p M$,$|df_p(f)|\geq |v|$. A continuación, $f$ es una cubierta mapa.