Aunque dudo que esto va a tener una respuesta satisfactoria, creo que es una pregunta interesante. Análisis complejo, precisamente, es interesante porque la diferenciabilidad en un pequeño barrio implica la analiticidad, que (en cierto sentido) significa que la información en un punto que se propaga a no trivial de información local. Así, la investigación de la real analógica es una cosa terrible a ser curioso acerca y te hace apreciar Complejo Análisis mucho más.
Hay muchas maneras en que el Análisis Real es "feo", y su pregunta puede ejemplificar de una manera en la que este es el caso.
Teniendo en cuenta la diferencia de dos funciones cualesquiera que está trabajando, su pregunta es equivalente a preguntar
En un intervalo de apenas cómo el "cero" puede una función sin ser equivalente a cero?
La explotación de gráfico de transformaciones que podemos centrarnos en el caso de que $f:(-1, 1)\rightarrow \mathbb{R}$$C^\infty$.
Por supuesto, si $f$ es cero en un subconjunto denso de $(-1,1)$, $f$ debe ser equivalente a cero. Esto sólo explota la continuidad.
En espera de la construcción de un extraño función de un extraño subconjunto, esto podría conducir a preguntar, "cuán densa puede ser algo sin ser denso?" La respuesta es "no mucho". Si un subconjunto no es denso, entonces no va a ser un punto y un vecindario de ese punto, donde el original wannabee-denso subconjunto no tiene ni siquiera un solo punto en común con el barrio. En definitiva, un subconjunto que no es denso no aparecen en ALGUNOS subconjunto abierto.
Volviendo al problema original aquí, una función que no es igual a cero, en un barrio es bastante distinto de cero en mi libro.
Pero usted puede estar cómodo con una función que no sea cero en un subconjunto denso y siguen considerando que es "prácticamente cero". Maneras en las que puedo pensar de este ser razonable es una función que es cero en un circuito cerrado en ningún lugar denso conjunto que ha positiva de la medida de Lebesgue---por ejemplo, una "grasa" conjunto de Cantor. Estos son ejemplos de subconjuntos que son "pequeños" topológicamente pero "grande" de la medida-en teoría. Usted no puede construir un lugar subconjunto denso con plena medida. Usted puede obtener una medida completa subconjunto con vacío interior, pero este subconjunto se denso (y por lo tanto no interesa aquí).
Para cualquier conjunto cerrado $F$, usted puede construir una función de $f$ $C^\infty$ $\mathbb{R}$ tal que $f^{(n)}(x)=0$ por cada $x$ $F$ y cualquier número natural $n$. Esta es una de las cosas raras acerca de Análisis Real. El uso de esta construcción en algo así como una grasa del conjunto de Cantor, le dará un bastante-mucho-cero de la función. Así que la mitad-forma de responder a tu pregunta es ¿cómo le diría usted a una función de este tipo como este de la función zero? Usted, sin duda, necesita saber esto el valor de la función en algún otro punto. Los lugares donde no es cero es densa y abierta; sin embargo, usted podría tener una arbitrariamente pequeña probabilidad de seleccionar un punto donde se evalúa a otra cosa. Bastante el acertijo. Dependiendo de cómo la "grasa" de este conjunto de Cantor fue, el universo podría morir antes de tener un apreciable la probabilidad de elegir un punto al azar donde se evalúa a un valor distinto de cero.
Parece que usted necesitaría saber cómo la función se comporta en todo un intervalo, el cual no es muy satisfactorio.
