Condiciones para el grupo cociente cíclico

Question

Sea $G$ un grupo finito arbitrario y $H$ un subgrupo normal.

¿Cuáles son algunas buenas condiciones sobre $H$ que hagan que el cociente $G/H$ sea cíclico?

Quiero evitar cualquier restricción adicional sobre $G.

Answer 1

Esta es en gran parte la pregunta equivocada. Deje que $H,K$ sean grupos y deje que $G = H \times K$ de modo que $H \trianglelefteq G$. (Esto no es la única forma de llegar a la próxima conclusión.)

¿Qué tipo de condiciones puedes aplicar a $H$ para forzar que $K \cong G/H$ sea cíclico? (Ten en cuenta que $K$ fue elegido completamente independientemente de $H$.)

En general, no hay tales condiciones. Dices que no quieres restringir $G$, pero $G$ es lo único que controla los cocientes de $H$. $H$ está atrapado en uno de sus cocientes y no tiene control sobre el resto de $G.

Observa que nadie te impone restricciones sobre $H$. Restringen el número de cosets de $H$ (a través de $|G|/|H|$) o requieren que $G$ sea especial (especialmente ver la versión finita de especial). Esto se debe a que restringir un pequeño fragmento de $G$ es demasiado débil para controlar los cosets de ese fragmento.

Answer 2

Otra condición suficiente que captura algunas de las ya mencionadas es que $\gcd([G:H], \phi([G:H]))=1$, donde $\phi$ es la función de Euler. Esta es una condición que garantiza que cada grupo de orden $[G:H]$ es cíclico e incluye números, como $255$, que son productos de más de dos números primos.

Answer 3

Proposición Sea $G$ un grupo finito, $H$ un subgrupo con $|G:H|=p$, un número primo. Si mcd$(|H|,p-1)=1$, o $p$ es el menor primo que divide a $|G|$, entonces $H$ es normal y por lo tanto $G/H \cong C_p$.

Answer 4

Cuando $\frac{|G|}{|H|}$ tiene orden $p$ con $p$ primo, o tiene orden $pq$ con primos $p

Si $H$ es especial, entonces $G/H$ es cíclico, por ejemplo, si $H=G$.

Answer 5

Una condición suficiente (aunque no necesaria) es que $\frac{|G|}{|H|}$ sea un número primo.