Las filas de una matriz son divisibles por 19, muestran que su determinante también es divisible por 19

Question

Me encontré con el siguiente problema mientras me estudiaba a mí mismo:

Let \begin{equation} A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 7 & 5\\ 3 & 8 & 7 & 9 & 8\\ 3 & 4 & 1 & 6 & 2\\ 4 & 0 & 2 & 2 & 3\\ 7 & 9 & 1 & 5 & 4\\ \end {bmatrix} \ end {equation}

Use el hecho de que 21375, 38798, 34162, 40223 y 79154 son divisibles entre 19 para mostrar, sin evaluar, que$\det[A]$ es divisible entre 19.

Noté que cada uno de estos números son las entradas en las filas de A, pero no veo cómo eso me ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ 10 ^ {10} \ det (A) = 10 ^ {4 +3 +2 +1 +0} \ det (A) = \ det \begin{pmatrix} 2 \cdot 10^{4} & 1\cdot 10^3 & 3\cdot 10^2 & 7\cdot 10 & 5 \\ 3\cdot 10^{4} & 8 \cdot 10^3 & 7\cdot 10^2 & 9\cdot 10 & 8 \\ 3\cdot 10^{4} & 4\cdot 10^3 & 1\cdot 10^2 & 6\cdot 10 & 2 \\ 4\cdot 10^{4} & 0 \cdot 10^3 & 2 \cdot 10^2 & 2 \cdot 10 & 3 \\ 7 \cdot 10^{4} & 9\cdot 10^3 & 1\cdot 10^2 & 5\cdot 10 & 4 \end {pmatrix}$$ $ $ = \ det \begin{pmatrix} 21375 & 1\cdot 10^3 & 3\cdot 10^2 & 7\cdot 10 & 5 \\ 38798 & 8 \cdot 10^3 & 7\cdot 10^2 & 9\cdot 10 & 8 \\ 34162 & 4\cdot 10^3 & 1\cdot 10^2 & 6\cdot 10 & 2 \\ 40223 & 0 \cdot 10^3 & 2 \cdot 10^2 & 2 \cdot 10 & 3 \\ 79154 & 9\cdot 10^3 & 1\cdot 10^2 & 5\cdot 10 & 4 \end {pmatrix}$$ which is evidently divisibly by $ 19 $ cuando se calculó mediante expansión por menores a lo largo de la primera columna.