¿Qué significa esta anotación en esta pregunta del SAT-Test?

Question

Estoy dando clases a un alumno para el SAT y me encuentro con el siguiente problema. No tengo ni idea de cuál es la notación $$ \fbox{k}=\left(-k,\frac{k}{2}\right)$$ significa. ¿Podría explicarlo con más detalle?

La pregunta dice:

$\fbox{k} = \left(-k, \frac{k}{2}\right)$ donde $k$ es un número entero. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por $\fbox{k}$ ?

A. $y = 2x + 2$

B. $y = 2x$

C. $y = -2x$

D. $y = \frac{1}{2}x - 2$

E. $y = - \frac{1}{2}x$

Answer 1

Siempre se puede inventar la notación, siempre que se explique lo que significa. A los exámenes como el SAT les gusta hacer esto para comprobar si te sientes realmente cómodo con las ideas en sentido abstracto, y no atado a ninguna notación en particular.

Pero tengo algunas objeciones a la forma en que está redactado. La primera frase

$\fbox{k} = (-k, \frac{k}{2})$ , donde $k$ es un número entero

parece implicar que $k$ es un único valor desconocido, por lo que $\fbox{k}$ es un único punto. Pero entonces hay un número infinito de líneas que pasan por ese punto, así que la pregunta debería ser "¿cuál de estas líneas pasa por ese punto?". El enunciado de la pregunta parece indicar que $\fbox{k}$ es una función definida sobre los enteros, pero entonces la pregunta debería decir algo como "... que pasa por todos los puntos $\fbox{k}$ ".

Answer 2

Parece que $\fbox{k}$ denota un punto (en este caso, el punto $(-k, k/2)$ para algún número entero $k$ ). No es una notación que haya visto antes -- yo esperaría algo como $P_k = (-k, k/2)$ ), pero sobre gustos no hay nada escrito.

(Aunque no estaba en su pregunta, la respuesta correcta a la pregunta del SAT es entonces E: la línea $y = -\frac{1}{2}x$ contiene el punto $ \fbox{k} = (-k, k/2)$ para cada número entero $k$ .)

Answer 3

Como MattPutnam explica en su responder En esta pregunta se pide al alumno que se adapte rápidamente a una notación inventada.

La notación particular describe un " ecuación paramétrica ":

$\fbox{k}$ define un parámetro de entrada k, y un punto de salida llamado $\fbox{k}$ .

En este ejemplo concreto:

• La entrada es k, que puede ser cualquier número entero.
• Así, el estudiante puede elegir entre un número infinito de ejemplos, e incluso puede graficarlos.
• La salida (para cualquier valor de k) es el punto (-k, k/2).

Se puede pensar en el conjunto de puntos {(-k, k/2) : k ϵ Z } como una ecuación paramétrica de un conjunto de puntos (x, y) a lo largo de una línea, donde x e y tienen valores determinados por el parámetro k.

Para resolver esta cuestión, fija x = -k, e y = k/2. Comprueba cada una de las respuestas propuestas por sustitución (CBS) o resuelve y en función de x:

x = -k.
k = -x.
y = -x/2.
Answer E is correct.
CBS:
y   ≟ -x/2
k/2 ≟ -(-k)/2
k/2 =  k/2
Confirmed that Answer E is correct.

Alternativamente, el estudiante podría elegir un valor de k, evaluar $\fbox{k}$ , realice un CBS para cada respuesta, y repita hasta que sólo una respuesta haya pasado el CBS. Por ejemplo:

CBS:
Supongamos que k = 0.
$\fbox{k}$ = (0, 0)
A está mal: (0, 2) ≠ (0, 0).
D está mal: (0, -2) ≠ (0, 0).
B, C y E siguen siendo posibles: (0, 0) = (0, 0).

Supongamos que k = 2.
$\fbox{k}$ = (-2, 1)
B es incorrecto: 1 ≠ 2*(-2).
C está mal: 1 ≠ -2*(-2).
E está bien: 1 = (-1/2)*(-2).

Por lo tanto, la respuesta E es correcta.