Aquí hay una respuesta para los árboles en $n$ nodos con Pruefer códigos. El
grado de un nodo es uno más que el número de veces que aparece en
el código, de modo que un nodo de grado dos aparece una vez. Por lo tanto, de los árboles no
contiene un nodo de grado dos todos los nodos aparecen no en todo o
al menos dos veces. Con $n$ nodos esto le da al EGF
$$\prod_{q=1}^n \left(1+\sum_{p\ge 2} \frac{z^p}{p!}\right)
= (\exp(z)-z)^n.$$
Extraer el coeficiente obtenemos
$$(n-2)! [z^{n-2}] (\exp(z)-z)^n
= (n-2)! [z^{n-2}] \sum_{q=0}^n {n\elegir q} \exp((n-p)z) (-1)^q z^q
\\ = (n-2)! \sum_{q=0}^{n-2} {n\elegir q} (-1)^q
[z^{n-2-q}] \exp((n-p)z)
\\= (n-2)! \sum_{q=0}^{n-2} {n\elegir q} (-1)^q
\frac{(n-q)^{n-2-p}}{(n-2-p)!}.$$
Por lo tanto, la forma cerrada para los árboles que contienen al menos un nodo de
el grado dos es
$$n^{n-2} - (n-2)! \sum_{q=0}^{n-2} {n\elegir q} (-1)^q
\frac{(n-q)^{n-2-p}}{(n-2-p)!}$$
o
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{
(n-2)! \sum_{q=1}^{n-2} {n\elegir q} (-1)^{q+1}
\frac{(n-q)^{n-2-p}}{(n-2-p)!}.}$$
Tenemos partida en $n=1$ la secuencia
$$0, 0, 3, 12, 120, 1200, 16380, 255696, 4726008, 99107280, \ldots $$
que no está en la OEIS. Dado este hecho que nos verfied estos datos
por la enumeración que se produce una coincidencia, como se ve a continuación.
con(planta);
trees_deg2 :=
proc(n)
opción de recordar;
local ind, d, a, mset, deg, res;
si n=1 entonces devuelve 0 fi;
res := 0;
para la ind de n^(n-2) 2*n^(n-2)-1 ¿
d := convert(ind, base, n);
a := [seq(d[p]+1, q=1..n-2)];
mset := convertir(a, `conjunto múltiple`);
gr := map(ent -> ent[2]+1, mset);
si el miembro(2, deg), a continuación,
res := res + 1;
fi;
od;
res;
end;
T := n ->
`si`(n=1, 0,
(n-2)!*agregar(binomial(n,p)*(-1)^(q+1)*(n-q)^(n-2-p)/(n-2-p)!,
q=1..n-2));
