Una condición de equicontinuidad conectada con la matriz derivada

Question

En el libro "las Cadenas de Markov y Estocástica de la Estabilidad" en la página 171, http://probability.ca/MT/) de Meyn y Tweedie no se utiliza la siguiente condición de equicontinuity:

Suponga que las funciones de $f_n:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb {R}$, $n\in\mathbb{N}$ son continuas y tienen derivadas parciales debido a que cada variable. Si existe una constante M tal que $\left\| f_n'(x)\right\|\leq M$$n\in\mathbb{N}$$x\in\mathbb{R}^d$, entonces la familia $\{f_n: n\in\mathbb{N}\}$ es equicontinuous.

¿Alguien sabe cómo prueba de que o donde puedo encontrar la prueba?

Answer 1

Esto es realmente sólo el valor medio teorema.

Una forma de ver esto es la siguiente. Supongamos $f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ $||\nabla f|| \le M$ en todas partes (estoy escribiendo $\nabla f$ en lugar de su $f'$ a recordarnos que es un vector). Elija cualquiera de los $x,y \in \mathbb{R}^d$ y establezca $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^d$ a ser un camino en línea recta entre ellos: $\gamma(t) = (1-t)x + ty$. Nota:$\gamma'(t) = y-x$.

Ahora escribo $g(t) = f(\gamma(t))$, por lo que el $f(y) - f(x) = g(1) - g(0)$. Por la regla de la cadena y la de Cauchy-Schwarz desigualdad, $$|g'(t)| = |\nabla f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)| \le ||\nabla f(\gamma(t))||\cdot ||\gamma'(t)|| \le M ||y-x||.$$ Así que por el (de una variable) valor medio teorema, $|g(1) - g(0)| \le |1-0|M ||y-x||$, y tenemos que $f$ es de Lipschitz con constante en la mayoría de las $M$.

Por supuesto, es fácil ver que cualquier colección de funciones que es Lipschitz con la misma constante debe ser equicontinuous.