Suma sobre la distribución predictiva posterior

Question

Estoy confundido acerca de la distribución predictiva posterior.

Esto es del Aprendizaje automático de Murphy: una perspectiva probabilística. De acuerdo con el ejemplo del Capítulo 3, la distribución predictiva posterior es:$$p(\tilde{x} \in C \mid D) = \displaystyle\sum_{h} p(y = 1 \mid \tilde{x}, h) p(h \mid D) $$ I believe $ y = f (x \ in C) = \begin{cases} 1 & \quad \text{if } x \in C\\ 0 & \quad \text{if } x \notin C\\ \end {cases} $ aunque no se menciona en el texto. ¿Debería la distribución predictiva posterior sumar a 1? ps

Answer 1

La última interpretación debe ser la correcta. Mi comprensión de la posterior distribución predictiva es decir, que se busca la probabilidad de que (aún) no observada de los datos de $\tilde{x}$. Lo que tenemos aquí es un modelo con un parámetro de $h$ y observado previamente los datos que han sido procesados en una posterior distribución de probabilidad para $h$.

Se debe sostener que:

\begin{align*} p(\tilde{x}|D) = \sum_{h}p(\tilde{x},h|D) = \sum_{h}p(\tilde{x}|h)\,p(h|D) \end{align*}

Aquí $p(\tilde{x}|D)$ está dando a la probabilidad condicional para todos los posibles valores de $\tilde{x}$. La teoría de la probabilidad se establece que:

\begin{align*} p(\tilde{x} \in C|D) + p(\tilde{x}\notin C|D) = 1 \end{align*}