Suma de partes fraccionarias $\frac{m}{n}$ donde $2 \leq n < m$ (aficionado)

Question

Busco el resultado de la suma de la parte fraccionaria del siguiente número:

$$f(m):=\sum_{n=2}^{m-1}Frac\left(\frac{m}{n}\right)$$

Después de algunas investigaciones he encontrado $2$ posibles soluciones:

1. Una serie de representaciones vistas aquí http://functions.wolfram.com/04.05.06.0002.01

y

2. Otra forma vista aquí

¿Qué $\displaystyle\frac{f(m)}{f(m-1)}$ igual a en función de $m$ ?

Edita:

Quizá también sea interesante que la gráfica de la función sube cuando m es primo.

Mi conclusión es que f(m) es mayor para los primos ya que la suma no contiene 0's. Un 0 sólo aparecería en un número compuesto, por lo que la suma sería relativamente menor.

Gráfico adjunto.

Answer 1

Lo hemos hecho, con algunas manipulaciones, $$ \sum_{n=2}^{m-1}\left\{ \frac{m}{n}\right\} =m\sum_{n=2}^{m-1}\frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{m-1}\left\lfloor \frac{m}{n}\right\rfloor =m\left(H_{m-1}-1\right)-\sum_{n=1}^{m}\left\lfloor \frac{m}{n}\right\rfloor +m+1=$$ $$=mH_{m-1}-D\left(m\right)+1$$ donde $H_{m-1}$ es el $m-1 $ -th número armónico y $D\left(m\right)$ es el divisor función sumatoria y podemos evaluarlo (utilizando, por ejemplo, la función Método de la hipérbola de Dirichlet ) $$D\left(m\right)=m\log\left(m\right)+m\left(2\gamma-1\right)+O\left(\sqrt{m}\right)$$ y así, utilizando la conocida estimación para los números armónicos $$H_{n}=\log\left(n\right)+\gamma+O\left(\frac{1}{n}\right)$$ tenemos $$\sum_{n=2}^{m-1}\left\{ \frac{m}{n}\right\} =m\left(\log\left(1-\frac{1}{m}\right)+1-\gamma\right)+O\left(\sqrt{m}\right).$$