Una matriz es diagonalizable si tiene un conjunto de vectores propios que son linealmente independientes. Ahora, ¿por qué está satisfecho esto en el caso de la matriz simétrica?
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jmans
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Supongamos que el campo de tierra es $\mathbb C$. Es inmediato entonces que toda matriz cuadrada se puede triangularse. Ahora, la simetría implica la normalidad ($A$ es normal si $AA^t=A^tA$ en el caso real, y $AA^*=A^*A$ en el caso complejo). Desde la normalidad es preservada por similitud, se sigue que, si $A$ es simétrica, entonces el triangular de la matriz de $A$ es similar a la normal. Pero obviamente (compute!) la única normal triangular de la matriz es diagonal, por lo que, de hecho, $A$ es diagonalizable.
Así resulta que el criterio que usted menciona para diagonalizability no es la más útil en este caso. El uno que es útil aquí es: Una matriz es diagonalizable iff es similar a una matriz diagonal.
Por supuesto, el resultado muestra que cada normal de la matriz es diagonalizable. Por supuesto, matrices simétricas son mucho más especial de lo que acaba de ser normal, y de hecho, el argumento anterior no demuestra el más fuerte resultado de que las matrices son simétricas orthogonaly diagonalizable.
Comentario: Para triangular la matriz, el uso de la inducción de la orden de la matriz. Para $1\times 1$ es trivial. Para $n\times n$, en primer lugar, encontrar cualquier autovector $v_1$ (uno de estos debe existir). El pensamiento de la matriz como una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ de la dimensión de $n$, escribir $V$ $V=V_1\oplus W$ donde $V_1$ es el subespacio generado por $v_1$. A continuación, $W$ $n-1$- dimensional, aplicar la hipótesis de inducción a $A|_{W}$ para obtener una base $v_2,\ldots, v_n$ que $A|_W$ es triangular. Ahora sigue que en la base de $v_1,\ldots, v_n$ $A$ es triangular.
Aquí un poco de la intuición (pero no de una rigurosa prueba).
Si $A$ es hermitian (con entradas en $\mathbb C$), se puede mostrar fácilmente que los autovalores de a $A$ son reales y que los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.
Normalmente, todos los autovalores de a $A$ son distintos. (Es en cierto sentido una enorme coincidencia si dos autovalores resultan ser iguales.) Así, típicamente $A$ tiene una base ortonormales de vectores propios.
Incluso si $A$ tiene la repetición de algunos valores propios, perturbando $A$, ligeramente probablemente hará que los autovalores a ser distintos, en cuyo caso no hay una base ortonormales de vectores propios. Por el pensamiento de $A$ como límite de pequeñas perturbaciones de $A$, cada uno de los cuales tiene una base de vectores propios, parece plausible que la $A$ también tiene una base de vectores propios.
