¿Existe una función cofinal cada vez más débil$\kappa \to \kappa$ estrictamente debajo de la diagonal?

Question

Deje $\kappa$ ser un infinito cardenal. No siempre existe una función de $f: \kappa \to \kappa$ tal que

1. $f$ es débilmente en aumento ( $f(\alpha) \leq f(\beta)$ $\alpha \leq \beta < \kappa$)

2. $f$ es cofinal (lo que es equivalente, la imagen de $f$ es ilimitado)

3. $f$ se encuentra estrictamente por debajo de la diagnoal (es decir, $f(\alpha) < \alpha$ todos los $\alpha <\kappa$)

?

Estoy dispuesto a relajar la condición (3) permitiendo la $f(\alpha) \leq \alpha$ whenenever $\alpha$ tiene innumerables cofinality.

También, $f(\alpha)$ sólo necesitan ser definidos para suficientemente grande $\alpha$, aunque estoy bastante seguro de que no hace una diferencia.

Por ejemplo, esto es posible cuando se $\kappa = \aleph_0$, tomando $f(n) = max(n-1,0)$.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que esta función no existe si $\kappa$ ha cofinality $\omega$, por una sencilla extensión de la $\kappa=\omega$ de los casos.

Ahora me dicen que si $cf(\kappa)>\omega$, entonces no hay tal función existe. Para ver esto, supongamos $cf(\kappa)=\lambda>\omega$ $f$ tiene las propiedades anteriores. Arreglar un aumento de la cofinal secuencia $S=(s_i)_{i\in\lambda}$$\kappa$, y picar $\kappa$ en intervalos a lo largo de esta secuencia: $I_i=[s_i, s_{i+1})$. Ahora, para cada una de las $i$ tenemos $f(s_i)\in I_j$ algunos $j<i$ (sin tener en cuenta un conjunto acotado de valores como de costumbre). Deje $h:\lambda\rightarrow\lambda$ ser definido por $h(i)=j$ fib $f(s_i)\in I_j$. A continuación, $h$ es regresivo, por lo tanto constante con valor de $u$ en un estacionario (de ahí cofinal) establecer para algunos $u$. Pero, a continuación, $f$ sí no puede ser tanto débilmente en aumento y cofinal, ya $f$ mapas de un cofinal establece un conjunto acotado (es decir, $I_u$).