Decir que tengo un countably infinito conjunto inicial $A$$A \subset [0,1]$. Mi set satisface la propiedad de que la $\inf_{x\in A} |x-y| = 0,\,\forall{y\in [0,1]}$ (Por ejemplo, $A$ puede ser el conjunto de los números racionales). Tengo una "construcción" que funciona de la siguiente manera:
Paso 1: Quite arbitraria $x_1\in A$ $A$ a venir para arriba con el conjunto de $A_1 = A - \{x_1\}$,
y para $n=2,\ldots,N$,
Paso n: Eliminar una arbitraria $x_n \in A_{n-1}$ $A_{n-1}$ a venir para arriba con el conjunto de $A_n = A- \{x_1, \ldots, x_n\}$.
Se puede demostrar que para cualquier $n$,$\inf_{x\in A_n}|x-y| = 0,\,\forall{y\in [0,1]}$. Que es, la eliminación de un número finito de términos de $A$, aún así obtener un $0$. No puedo garantizar que a pesar de que repetir el proceso anterior infinitamente muchas veces todavía me $0$, como puede que se me han quitado todos los elementos de a $A$. Mi primera pregunta es ¿por qué está pasando esto? O mejor dicho, ¿cómo puedo evitar cometer errores cuando se va a partir de un número finito de pasos para un countably número infinito de pasos?
Ahora, considere la posibilidad de otro "construcción"; en el paso $n$ me acabo de quitar un elemento arbitrario $x_n$ $A$ a venir para arriba con el conjunto de $A_n = A - \{x_n\}$. Similar al caso anterior tenemos $\inf_{x\in A_n} |x-y| = 0,\,\forall{y\in [0,1]}$ cualquier $n$. Pero ahora, supongo, aunque me repita los pasos de esta nueva construcción infinidad de veces, aún así consigue $0$ mi respuesta final. ¿Cómo puedo demostrarlo? En general, tengo una construcción en la que, repito algunos pasos bien definidos infinitamente muchas veces; ¿cómo puedo verificar la corrección de mi respuesta final? (Usted puede sugerir que necesito encontrar un conjunto de límite de $\lim A_n$ para este caso, pero me parece que no necesito, ya que estoy "seguro" de que la respuesta final debe ser$0$, en cualquier caso).
