Si$f\in C^1(\mathbb{R},M_n(\mathbb{R}))$ tal que$f(0)=0$ y$f'(0)=I$, muestran que la imagen de f contiene una matriz regular

Question

Si $f\in C^1(\mathbb{R},M_n(\mathbb{R}))$ tal que $f(0)=0$ y $f'(0)=I$, muestran que la imagen de f contiene una matriz regular.

Tratando de demostrar algo (primaria) de la teoría de la representación, he venido a una parada. Este hecho sería completar la prueba. ¿Puede alguien demostrar que o encontrar un contraejemplo? ¡Gracias!

Answer 1

Aquí supongo que "regular" significa "invertible".

El hecho de que el % decir, $f(0)=0$y $f'(0)=I$ $t \to 0$, $\frac{1}{t} f(t) \to I$. El conjunto de matrices inversible es abierto y por supuesto contiene $I$. Por lo tanto, todos suficientemente pequeño distinto de cero $t$ $\frac{1}{t} f(t)$ es invertible y así es $f(t)$.