$a_n=20a_{n-1}+12a_{n-2}$ pregunta sobre la relación de recurrencia

Question

Respetado señor,

Por favor, resuelva el siguiente problema. Por favor...

Considere el infinito $\displaystyle\mathbb{S}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{10^{2n}}$ donde la secuencia $\{a_n\}$ se define por $a_0=a_1=1$ y la relación de recurrencia $a_n=20a_{n-1}+12a_{n-2}$ para todos los enteros positivos $n \geq 2$ . Si $\sqrt{\mathbb{S}}$ puede expresarse en la forma $\frac{a}{\sqrt{b}}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos relativamente primos. Determinar el par de orden $(a, b)$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: Consideremos la serie generadora $F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.$ Entonces, utilizando la relación de recurrencia observe que \begin{align} F(x)-20xF(x)-12x^{2}F(x) &= a_{0}+\left(a_{1}-20a_{0}\right)x+\sum_{n=2}^{\infty}\left(a_{n}-20a_{n-1}-12a_{n-2}\right)x^{n} \\ &= 1-19x. \end{align}

Por lo tanto, para $x$ en el radio de convergencia $$F(x)=\frac{1-19x}{1-20x-12x^{2}}.$$

(Observación: El radio de convergencia es $0.048$ o $\frac{1}{6}\left(2\sqrt{7}-5\right)$ que está cerca de $\frac{1}{19}$ )

Ahora dejemos que $x=\frac{1}{10^2}$ y seguir a partir de aquí.

(Efectivamente, obtendrá un cuadrado como numerador, el denominador es un número primo bastante cercano a $2000$ .)