Cómo mostrar, que una inclusión de espacios homogéneos$$O(2n)/U(n)\to GL(2n,\mathbb{R})/GL(n,\mathbb{C}) $$ is homotopy equivalence? The big space is the space of complex structures on $ \ mathbb {R} ^ {2n}$. This is an exercise in the book of McDuff and Salamon on symplectic topology, and they recommend to use polar decomposition, but it gives a deformational retraction $ GL (2n, \ mathbb {R}) \ a O (2n) $, but does not give a map of homogenious spaces, since it is not $ GL (n, \ mathbb {C}) $ - equivalente.
Respuesta
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Probablemente puedas escribir un homotopy inverso explícito, pero aquí hay una forma rápida de ver esto:
Tenemos paquetes de fibras$O(2n)/U(n) \rightarrow BU(n) \rightarrow BO(2n)$ y$GL_{2n}(\mathbb{R})/GL_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow BGL_{n}\mathbb{C} \rightarrow BGL_{2n}\mathbb{R}$ y un mapa del primero al segundo que induce equivalencias de homotopy en la base y el espacio total, por lo que las fibras son equivalentes a homotopy.
