Demostrar $\sin(1/n)<1/n$ todos los $n$

Question

Necesito demostrar $\sin(1/n)<1/n$ todos los $n \in \Bbb N$ usando inducción matemática.

No sé cómo empezar. Por favor, ayuda!

Answer 1

Porque de \[ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} +\dots \] Como $x^n$ es monótona decreciente en $[0,1]$$n$. Por lo tanto \[ \sin(x)\leq x \] para$x$$[0,1]$. Como $\sin(x)\leq 1$ la desigualdad es aún cierto para todos los $x\in [0,\infty)$.

Podemos ver que cuando la $x-\sin(x)> 0$ mantiene para $x\in (0,1]$ esto implica que $\sin\big(\frac{1}{n}\big) < \frac{1}{n}$ tiene para todos los $n \in \mathbb{N}$. En primer lugar observamos que para $x=0$ $\sin(x)-x=0$. La derivada de \[ x - \sin(x)\] es $1-\cos(x)$. Con el fundamental theoroem de cálculo sabemos que \[ x-\sin(x) = (1-\cos(\xi)) \cdot x \] donde $\xi \in (0,x)$. Como $\cos (x) \leq 1$ $x>0$ tenemos que $x-\sin(x)$ es positivo y, por tanto, nuestra desigualdad se cumple.