¿Por qué una serie de Fourier tiene un 1/2 en frente del coeficiente a_0?

Question

Estoy leyendo la serie de fourier, y sigo viendo como está definido como:

$$ f(\theta)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta)) $$

donde

$$ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(n\theta)f(\theta)d\theta $$

y

$$ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin(n\theta)f(\theta)d\theta $$

Entiendo que la derivación de los coeficientes utilizando trigonometría integral de las identidades, pero no puedo encontrar una explicación clara de por qué $\frac{1}{2}$ está en frente de $a_0$. Alguien puede ayudar a mostrar mi ¿por qué este es el caso? ¿Por qué no podemos simplemente tener $a_0$ sin número, en frente de ella. Gracias!

edit: corregido suma plazo

Answer 1

Porque $$ \ frac1 \ pi \ int_0 ^ {2 \ pi} \ cos ^ 2 (n \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = \ left \ {\begin{array}{}2&\text{if }n=0\\1&\text{if }n\ne0\end {array} \ right. $$ Además, la suma debe comenzar en$n=1$.

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Hemos definido $$ a_n = \ frac1 \ pi \ int_0 ^ {2 \ pi} f (\ theta) \ cos (n \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta $$ Si escribimos $$ g (\ theta) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n \ cos (n \ theta) + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n \ sin (n \ theta) $$ luego $$ \ frac1 \ pi \ int_0 ^ {2 \ pi} g (\ theta) \ cos (n \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = \ left \ {\begin{array}{}\color{#C00000}{2}a_0&\text{if }n=0\\a_n&\text{if }n\ne0\end {array} \ right. $$ Entonces, tenemos que usar$\frac12a_0$ para compensar.