Elija 3 vectores de longitud $\geq 1$ para que las sumas de cada dos tengan longitud $< 1$

Question

¿Es posible elegir tres vectores $v_1, v_2, v_3\in\mathbb{R}^2,\vert v_i\vert\geq1$ para que $$\vert v_1+v_2\vert<1$$ $$\vert v_2+v_3\vert<1$$ $$\vert v_3+v_1\vert<1$$

donde $\vert v\vert$ es la norma euclidiana de $v$ ?

No he podido encontrar un contraejemplo, pero tampoco he conseguido demostrarlo. Dado que cada $v_i$ sólo tiene dos coordenadas, intenté demostrarlo por distinción de todas las posibles combinaciones de coordenadas negativas y positivas para cada vector, pero no funcionó (y sería una prueba muy torpe si funcionara). También intenté un enfoque similar utilizando coordenadas polares, que tampoco funcionó.

¿Tiene un contraejemplo o un enfoque para una prueba?

Answer 1

Pista: los tres ángulos entre los pares de los tres vectores suman como máximo $2\pi\,$ por lo que al menos uno de ellos debe ser $\le 2 \pi /3\,$ . Sea WLOG que uno sea el ángulo $0 \le \alpha \le 2 \pi / 3$ entre $v_1$ y $v_2\,$ . Entonces $\cos(\alpha) \ge -1/2\,$ y por lo tanto:

$$ \begin{align} |v_1+v_2|^2 &= |v_1|^2+|v_2|^2+ 2 |v_1||v_2|\cos(\alpha) \\ &\ge |v_1|^2+|v_2|^2 - |v_1||v_2| \\ &= |v_1||v_2| + \big(|v_1|-|v_2|\big)^2 \\ &\ge |v_1||v_2| \\ &\ge 1 \end{align} $$

Answer 2

Para $i \neq j$ tienes $|v_i+v_j|²<1$ que da $|v_i|^2+|v_j|^2+2\langle v_i, v_j \rangle <1$ lo que significa que $2\langle v_i, v_j \rangle<1-|v_i|^2-|v_j|^2<-1$ .

Entonces escribe que existe $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ tal que $av_1+bv_2+cv_3=0$ ya que tienes 3 vectores en un espacio de dimensión 2.

Puedes asegurar que al menos 2 de los 3 coefs $a,b,c$ son no negativos (y multiplicando todos ellos por $-1$ si no es el caso)

Si uno de ellos es negativo, digamos $c$ entonces $-cv_3=av_1+bv_2$ calcula el producto punto con $v_3$ : $-c|v_3|^2=a\langle v_1,v_3 \rangle + b\langle v_2,v_3 \rangle$ La lhs es positiva mientras que la rh es negativa, lo cual es absurdo.

Entonces $a,b,c \geq 0$ .

Calcule los productos punto por $v_1, v_2, v_3$ de la igualdad $av_1+bv_2+cv_3=0$ :

$$a|v_1|^2+b\langle v_1, v_2 \rangle + c \langle v_1, v_3 \rangle=0$$

$$b|v_2|^2+a\langle v_1, v_2 \rangle + c \langle v_2, v_3 \rangle=0$$

$$c|v_3|^2+a\langle v_1, v_3 \rangle + b \langle v_2, v_3 \rangle=0$$

y sumando estas igualdades, se obtiene

$0 = a|v_1|^2+b|v_2|^2+c|v_3|^2+b\langle v_1, v_2 \rangle + c \langle v_1, v_3 \rangle+a\langle v_1, v_2 \rangle + c \langle v_2, v_3 \rangle+a\langle v_1, v_3 \rangle + b \langle v_2, v_3 \rangle$

Y utilizar el hecho de que $2\langle v_i, v_j \rangle<1-|v_i|^2-|v_j|^2$ . Se obtiene (ya que $a,b,c \geq 0$ ):

$$0<a|v_1|^2+b|v_2|^2+c|v_3|^2 + (b/2)(1-|v_1|^2-|v_2|^2) + (c/2)(1-|v_1|^2-|v_3|^2)+(a/2)(1-|v_3|^2-|v_2|^2)+(c/2)(1-|v_2|^2-|v_3|^2)+(a/2)(1-|v_1|^2-|v_3|^2)+(b/2)(1-|v_2|^2-|v_3|^2)$$ es decir ,

$$a+b+c>(b/2)|v_1|^2+(c/2)|v_1|^2+(a/2)|v_2|^2+(c/2)|v_2|^2+(a/2)|v_3|^2+(b/2)|v_3|^2\geq a+b+c$$ lo cual es absurdo.

Answer 3

$$\begin{align} 2\alpha+2\beta+2\gamma = 360^\circ \quad&\stackrel{\text{wlog}}{\implies}\quad \alpha \geq 60^\circ \\[4pt] &\implies\quad \left(\;\alpha\geq\beta^\prime\;\right)\;\text{or}\;\left(\;\alpha\geq\gamma^\prime\;\right) \\[4pt] &\implies\quad \left(\;a^\prime \geq b\;\right)\;\text{or}\;\left(\;a^\prime \geq c\;\right) \quad\square \end{align}$$