$\lim_{x \rightarrow 0^+}$ $(\sin x)^{\ln x}$

Question

Mi pregunta es, ¿qué es$\lim_{x \rightarrow 0^+}(\sin x)^{\ln x}$?

Este límite es igual a

ps

Pero, ¿cuál es el límite del lado derecho de$$\lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\ln(\sin x)\ln x} = e^{\lim_{x\to0^+} \ln(\sin x)\ln x}$ cuando x va a$\ln(\sin x)\ln x$

¿cualquier sugerencia? No puedo aplicar L'Hospital.

Answer 1

Contorno:

Primero, cuando$x\to 0^+$, tenemos$\sin x > 0$ para$x$ lo suficientemente pequeño y la cantidad está bien definida. Ahora (lo siguiente se basará en las aproximaciones de Taylor): $$ \ sin x = x + o (x ^ 2) $$ así $$ \ ln \ sin x = \ ln (x + o (x ^ 2)) = \ ln x + \ ln (1 + o (x)) = \ ln x + o (x) $$ y $$ e ^ {\ ln (\ sin x) \ cdot \ ln x} = e ^ {(\ ln x) ^ 2 + o (x \ ln x)} = e ^ {(\ ln x) ^ 2 + o (1)} $$ como$x\ln x \xrightarrow[x\to 0]{} 0$. Para concluir, observe que$(\ln x)^2 \xrightarrow[x\to 0]{} \infty$ le dará la respuesta por la continuidad de$\exp$.

Answer 2

Usando una desigualdad bien conocida, para$0 < x < 1$ tenemos

ps

Por lo tanto, para$$1-x < -\ln x < \frac{1- x}{x}. $

ps