Si $A, B, C$ son generados finitamente $\mathbb{Z}/{p^n}\mathbb{Z}$ -tales que $A \oplus B \simeq A \oplus C$ entonces $B \simeq C$

Question

Un amigo que se está preparando para un examen de clasificación de álgebra me hizo ayer la siguiente pregunta, pero realmente no tengo ni idea de cómo enfocar el problema.

Dejemos que $A, B$ y $C$ sea de generación finita $\mathbb{Z}/{p^n}\mathbb{Z}$ -(p es un número primo) tales que $A \oplus B \simeq A \oplus C$ . Demostrar que $B \simeq C$ .

Agradecería mucho si alguien puede proporcionarme ayuda con esta pregunta.

Muchas gracias.

Answer 1

¿Qué es un $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ -¿Módulo? No es más que un grupo abeliano $G$ con la propiedad de que $p^n G=\{0\}$ ¿No? Por lo tanto, si alguien te lo plantea como "Si $A,B,C$ son grupos abelianos f.g. (con la propiedad de que todos son aniquilados por $p^n$ ) tal que $A\oplus B\cong A\oplus C$ , entonces es $B\cong C$ ?" ¿Qué diría usted? Por supuesto, hay que tener cuidado de anotar qué tipo de morfismos estamos viendo, y algunas otras cuestiones de identificación, pero todo se resolverá con un poco de cariño.