Cohen-Macaulayness hereda al cociente (Matsumura, CRT, ejercicio 17.4)

Question

Un conocido teorema de álgebra conmutativa de los estados, el hecho de que si $R$ es Cohen-Macaulay anillo, y $a_1,...,a_r$ $R$- secuencia, a continuación, $R/I$ es Cohen-Macaulay, donde $I=(a_1,...,a_r)$.

Ahora,

Es cierto que para cualquier entero positivo $n$ el anillo de $R/I^n$ es Cohen-Macaulay?

Sé que, de alguna manera, que debemos recurrir a la inducción y el uso de la breve secuencia exacta $0\to I^n/I^{n+1} \to R/I^{n+1}\to R/I^n\to 0$ pero no pude continuar. Hay una escuela primaria de la prueba (o contraejemplo) para que?

Gracias por la colaboración!

Answer 1

Supongo que $(R,\mathfrak m)$ es local. Queremos mostrar que $\operatorname{depth}R/I^n=\operatorname{depth}R/I$. Por el teorema 1.18 de Bruns y Herzog obtenemos $(R/I)[X_1,\dots,X_r]\simeq\operatorname{gr}_I(R)$. Sigue que $I^{k}/I^{k+1}\simeq(R/I)^{m_k}$ % todos $k\ge0$. Ahora uno puede demostrar inductivamente que $\operatorname{Ext}_R^i(R/\mathfrak m,R/I^n)=0$ $i

Desde $\dim R/I^n=\dim R/I$ hemos terminado.