¿Cuál es el primer espectro de una serie de Cauchy anillo?

Question

Deje $k$ ser un campo, y deje $| \ |$ ser una norma en $k$. La norma induce una métrica. Para la construcción de la finalización de la $\hat{k}$ como una normativa de campo, la receta estándar es tomar el cociente del anillo de $\mathcal{C}(k)$ de todas las secuencias de Cauchy en $k$ -- considerarse como un sub-anillo de $k^{\infty} = \prod_{i=1}^{\infty} k$ -- por la máxima ideal $\mathfrak{m}_0$ de todas las secuencias convergentes a $0$.

Esto nos lleva a la siguiente [inactivo] pregunta: ¿cuáles son los máximos ideales de la $\mathcal{C}(k)$? El primer ideales?

Mi recuerdo vago había sido ese $\mathfrak{m}_0$ fue el único ideal maximal de a $\mathcal{C}(k)$, pero esto evidentemente no es el caso: para cada $n$, no es un ideal maximal $\mathfrak{m}_n$ consta de secuencias cuyas $n$th coordinar los es $0$, el residuo de campo se $k$ nuevo. Es fácil ver que a pesar de que $\mathfrak{m}_0$ es el único ideal maximal que contiene el primer ideal $\mathfrak{c} = \bigoplus_{i=1}^{\infty} k$. (Edit: $\mathfrak{c}$ es el primer iff la norma es trivial.)

Ahora, esto me recuerda a la de los filtros. El primer ideales de la (cero-dimensional) anillo de $k^{\infty}$ corresponden precisamente a la ultrafilters en $\mathbb{Z}^+$. El director de ultrafilter de todos los conjuntos que contengan $n$ tira de nuevo a la máxima ideal $\mathfrak{m}_n$. Ya que cada nonprincipal ultrafilter contiene el Frechet filtro de cofinite conjuntos, se sigue que tira hacia atrás de a $\mathfrak{m}_0$. Pero es cierto que cada ideal maximal de a $\mathcal{C}(k)$ se tira desde un primer (= máximo) ideal de $k^{\infty}$? Si es así, esto es un ejemplo de un teorema general?

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Addendum:

Tenga en cuenta que en el caso de que la norma es trivial, para que la inducida por la métrica es la métrica discreta -- una secuencia converge iff es finalmente constante, por lo que una secuencia converge a $0$ fib tiene sólo un número finito distinto de cero términos: $\mathfrak{c} = \mathfrak{m}_0$. Lo contrario también es: para cualquier trivial norma no existen en ningún cero secuencias convergentes a $0$, por ejemplo, $\{x^n\}$ cualquier $x \in k$$0 < |x| < 1$.

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Una vez que la pregunta original es trabajado, también tengo curiosidad acerca de las generalizaciones. ¿Qué es el análogo para el anillo de un mínimo de Cauchy filtros en una arbitraria topológico anillo?

Answer 1

En esta respuesta voy a tratar el caso en que $|\text{ }|$ no es discreto.

Yo el primer reclamo que $\mathfrak m_0$ no es la restricción de cualquier ideal en $k^{\infty}.$ De hecho, elija $x \in k$ tal que $0 < |x| < 1$. A continuación, $(x^i)$ es un elemento de $\mathfrak m_0$ que es invertible en a $k^{\infty}$ (con inverse igual a $(x^{-i})$, y por lo $\mathfrak m_0$ genera la unidad ideal de $k^{\infty}$.

Esto no contradice en nada; los máximos ideales de la $k^{\infty}$ pull-back para el primer ideales en $\mathcal C(k)$ que simplemente no son máximas (como sucede a menudo con los mapas de los anillos).

Además, este pull-back es inyectiva.

Para ver esto, primero presentamos algunas anotaciones; es decir, que lo deje $\mathfrak m\_{\mathcal U}$ denotar el primer ideal de $k^{\infty}$ correspondiente a la no-principal ultra-filtro de ${\mathcal U}$,y recordar que $\mathfrak m\_{\mathcal U}$ se define de la siguiente manera: un elemento $(x_i)$ se encuentra en $\mathfrak m\_{\mathcal U}$ si y sólo si $\{i \, | \, x_i = 0\}$ se encuentra en $\mathcal U$.

Ahora supongamos que $\mathcal U_1$ $\mathcal U_2$ son dos distintos no principal ultra-filtros. Deje $A$ ser un conjunto acostado en $\mathcal U_1$, pero no en $\mathcal U_2$. A continuación,$A^c$, el complemento de a $A$, se encuentra en $\mathcal U_2$.
Elija $x \in k$ tales $0 < | x | < 1,$ y deje $x_i = x^i$ si $i \in A$ y $x_i = 0$ si $i \not\in A$. A continuación, $(x_i)$ es un elemento de $\mathcal C(k)$, en el hecho de $\mathfrak m_0$, y se encuentra en $\mathfrak m\_{\mathcal U_2}$ pero no en $\mathfrak m\_{\mathcal U_1}$.

Por lo tanto $\mathfrak m\_{\mathcal U_1}$ $\mathfrak m\_{\mathcal U_2}$ tienen distintas pull-backs.

Así el mapa Espec $k^{\infty} \rightarrow $ Espec $\mathcal C(k)$ es inyectiva y dominante (ya que se trata de un inyectiva mapa de los anillos), pero no es surjective. La elección de la valoración $|\text{ }|$ nos permite añadir a las Especificaciones de $k^{\infty}$ (que es el Stone-Cech compactification de $\mathbb Z\_+$) un punto extra que domina todos los otros de los puntos en el infinito (es decir, todos los no-principal ultrafilters), debido a la valoración que da ahora nosotros de una manera definitiva para calcular los límites (siempre comenzamos con una secuencia de Cauchy).

Answer 2

Supongamos que tenemos un ideal de a $I$ ${\mathcal C}(k)$ que no está contenida en cualquiera de las $\mathfrak m\_n.$, a Continuación, para cada una de las $n$, el ideal de $I$ contiene un elemento $(k_i)$ $k_n \neq 0.$ Multiplicando por el elemento $k_n^{-1} \underline{e}_n$, donde $\underline{e}_n$ denota el elemento que se $0$ en cada coordinar con la excepción de $n$, nos encontramos con que $\underline{e}_n \in I$ por cada $n$. Por lo tanto $I$ contiene $\mathfrak c$.

En particular, si $I$ es maximal, luego coincide con $\mathfrak m_0$ (por su caracterización de $\mathfrak m_0$ como la única máxima que contiene ieal $\mathfrak p$).

Así, a excepción de una metedura de pata, esto parece demostrar que la máxima ideales de $\mathcal C(k)$ son precisamente las $\mathfrak m_n$$\mathfrak m_0$.

El cociente $\mathcal C(k)/\mathfrak c$ es un anillo local (por el uniquess de $\mathfrak m_0$), pero yo no veo nada más que decir al respecto todavía.