Puntos de intersección de dos funciones

Question

Encuentre todos los puntos de intersección (con coordenadas enteras) de$$y=p$$ and $$y=|x^2+2x-15|$ $ si p es el número primo.

Ahora lo que probé:$$|x^2+2x-15|=p$ $ then$$|(x+1)^2-16|=p$ $
entonces$$(x+1)^2=16-p$$ $$or$$ $$(x+1)^2=p+16$ $ So$p+16$ y$16-p$ deben ser números cuadrados. Encontré que si$p=7$$$(x+1)^2=9$$ so $ x = 2$ or $ x = -4$, therefore intersection points, which I found are $ (2; 7)$ and $ (- 4; 7) $. ¿Pero cómo encontrar otros puntos de intersección o probar que no hay otros?

Answer 1

En su lugar, puede escribir$y=x^2 + 2x - 15$ como$$y=(x+5)(x-3).$$ Then, we are searching for integers $ x$ such that $$p=|(x+5)(x-3)| = |x+5| \cdot |x-3|$$ where $ p$ is a prime. Thus, $$\begin{align}\text{either} \quad &|x+5| = 1 \quad\\ \text{or} \quad &|x-3|=1.\end{align}$ $ Now, $$ \begin{align} |x+5| = 1 &\Leftrightarrow x = -6 \quad \text{or} \quad x=-4 \\ |x-3| = 1 &\Leftrightarrow x = \phantom{-}2 \quad \text{or} \quad x=\phantom{-}4. \end {align} $$ Por lo tanto, estos son los únicos valores enteros posibles que$x$ puede tomar. Evaluando$|(x+5)(x-3)|$ en estos valores, podemos verificar si el valor es primo o no. $$ \begin{align} x = -6 &\Rightarrow |(x+5)(x-3)| = 9 \leftarrow \text{NOT prime} \\ x = -4 &\Rightarrow |(x+5)(x-3)| = 7 \leftarrow \text{prime} \\ x = \phantom{-}2 &\Rightarrow |(x+5)(x-3)| = 7 \leftarrow \text{prime} \\ x = \phantom{-}4 &\Rightarrow |(x+5)(x-3)| = 9 \leftarrow \text{NOT prime} \end {align} $$ Por lo tanto,$(x,p) = (-4,7)$ y$(x,p) = (2,7)$ son las únicas soluciones posibles.