Número máximo de raíces reales de esta ecuación

Question

Pregunta:

¿Cuál es el número máximo de raíces reales de esta ecuación? Supongamos que $a,b,c$ son números reales positivos. $$(ax^2+bx+c)(bx^2+cx+a)(cx^2+ax+b)=0$$

Mi intento:

Supongamos que la ecuación tiene 6 raíces reales.
Así, los discriminantes son $b^2-4ac>0,c^2-4ab>0,a^2-4bc>0$ .
Esto implica que $b>2\sqrt{ac},c>2\sqrt{ab},a>2\sqrt{bc}$
Multiplique todos ellos para obtener $abc>8abc$ que es una contradicción para los números reales positivos.

Ahora supongamos que la ecuación tiene 5 raíces reales.
Así, los discriminantes son $b^2-4ac>0,c^2-4ab>0,a^2-4bc=0$ . (modificando aquí el último discriminante, pero podríamos elegir también cualquier otro discriminante ya que todos son equivalentes)
Esto implica que $b>2\sqrt{ac},c>2\sqrt{ab},a=2\sqrt{bc}$
Multiplica los dos primeros para obtener $bc>4a\sqrt{bc}=>\sqrt{bc}>4a$ lo cual es una contradicción ya que $a=2\sqrt{bc}$ .

Ahora supongamos que la ecuación tiene 4 raíces reales.
Así, los discriminantes son $b^2-4ac>0,c^2-4ab>0,a^2-4bc<0$ . (modificando aquí el último discriminante, pero también podríamos elegir cualquier otro discriminante ya que todos son equivalentes)
Esto implica que $b>2\sqrt{ac},c>2\sqrt{ab},a<2\sqrt{bc}$
Multiplica los dos primeros para obtener $bc>4a\sqrt{bc}\implies a<\sqrt{bc}/4$ que es posible para una determinada combinación de $a,b,c$ como $a=1,b=16,c=27$

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He intentado esta pregunta por mi cuenta (autoestudio) y deseo saber si mi método es correcto ya que suelo pasar por alto supuestos importantes y cosas relacionadas.

Espero que la pregunta sea lo suficientemente clara. En caso de cualquier ambigüedad, por favor, comente.

Answer 1

Si lo encuentro bastante bueno. Solo hay un pequeño error (por copiar-pegar, probablemente) en el caso de $4$ raíces reales, cuando se dice "multiplicar todo de ellos", pero la lectura posterior aclara lo que quiere decir.

Otro detalle. Si la ecuación tiene $4$ raíces reales, otra posibilidad es que dos discriminantes sean cero y el otro sea positivo, pero esto también lleva a la contradicción. Tal vez se pueda eliminar de una vez los discriminantes cero si se supone al principio que todos los discriminantes son no negativo en lugar de estrictamente positivo. Se obtiene $abc\ge 8abc$ que también es una contradicción.

EDIT: Ver también el comentario de DHMO ("El OP ha conseguido construir un ejemplo. Sin embargo, el OP no ha comprobado si la ecuación tiene realmente 4 raíces.")

Answer 2

La suposición de que a, b y c son números "positivos" limita la gama de respuestas. Una vez que se asume que a, b y c son sólo números reales (positivos o negativos), la respuesta a la pregunta es 6 raíces reales. Este número máximo de 6 raíces reales se obtiene cuando, por ejemplo, b es positivo y c es negativo o viceversa. Puedes comprobarlo con este ejemplo: a es igual a 1, b es igual a menos 5 y c es igual a 6.