Introducción
No necesitas interpolación para este problema. En general es cierto que la interpolación es muy adecuada para aproximar una función desconocida y suave de unas pocas entradas ( $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n$ ), con $n$ pequeño) sobre un hipercubo, partiendo de los valores de la función sobre un conjunto de puntos de entrenamiento $S=\{(\mathbf{x}_i,y_i)\}_i^N$ situado en el hipercubo. Esto es especialmente cierto cuando los valores de la función en los nuevos puntos de entrenamiento pueden generarse a bajo coste, que es tu caso, ya que tu código se ejecuta muy rápidamente. Además, la interpolación tiene un error de aproximación (cercano a la máquina) nulo en los puntos en $S$ : esto es una desventaja (sobreajuste) cuando se trata de aproximar datos ruidosos, pero en realidad es el comportamiento correcto cuando se aproximan datos que se conocen sin error, como en tu caso.
Por otro lado, la interpolación tiene algunas desventajas claras:
- el número de parámetros que hay que almacenar para realizar la interpolación crece con el tamaño del conjunto de entrenamiento. Por lo tanto, los requisitos de memoria crecen rápidamente con el tamaño del conjunto de entrenamiento.
- hacer predicciones con algunos métodos de interpolación (por ejemplo, los Procesos Gaussianos de vainilla) es mucho más lento que hacer predicciones con un simple modelo de regresión paramétrica, aunque probablemente siga siendo mucho más rápido que ejecutar su código informático
- el error de aproximación (diferencia entre los valores previstos por el método de interpolación $y_p$ y valores de función desconocidos $y$ ) crece mucho en cuanto se sale de la región del espacio de parámetros de entrada "abarcada" por el conjunto de entrenamiento (extrapolación). Los modelos de regresión suelen tener el mismo problema, pero no siempre (véase más adelante).
en su caso es evidente que, para cada fijo $u$ , $\Delta T$ se aproxima muy bien mediante una función lineal de $T_{a,in}$ mientras que para cada $T_{a,in}$ , $\Delta T$ se aproxima muy bien mediante una función logarítmica de $u$ (más una intercepción). Es importante verificar que el modelo tiene sentido desde el punto de vista físico: basándose en su conocimiento físico del problema, ¿es plausible que para $u$ , $\Delta T$ es lineal en $T_{a,in}$ y para fijo $T_{a,in}$ es logarítmica en $u$ ? Si es así, podemos intentar ajustar el siguiente modelo:
$$\Delta T \approx \beta_0+\beta_1 T_{a,in} + \beta_2 \log(u) + \beta_3 T_{a,in}\log(u) $$
y comprobar si en los puntos de datos extrapolados, no utilizados para el entrenamiento, su precisión sigue siendo buena. Tenga en cuenta que este modelo sólo tiene 4 parámetros.
Ajuste de modelos
Utilizaré R para mostrar el enfoque:
# R_a and R_u are the corresponding vectors in your code
R_a <- seq(15 ,20.5, by = 0.5)
R_u <- seq(0.1, 0.95, by = 0.05)
# DeltaT_matrix is the output matrix which you called Ta in your Python code
DeltaT_matrix <- structure(c(9.16474143429817, 8.94118290271588, 8.71731921196482,
8.49315204987976, 8.26868309204161, 8.04391400188728, 7.81884643081838,
7.59348201830876, 7.36782239201091, 7.14186916786124, 6.9156239501842,
6.68908833179539, 8.77268383665777, 8.55914642773912, 8.3452924610834,
8.13112363233619, 7.91664162521941, 7.70184811163494, 7.48674475176713,
7.27133319418426, 7.05561507593893, 6.83959202266747, 6.62326564868829,
6.40663755709921, 8.48960063743449, 8.28327754024661, 8.07663085966664,
7.86966228789457, 7.66237350551092, 7.45476618157531, 7.24684197372405,
7.03860252826679, 6.8300494802822, 6.62118445371259, 6.4120090614577,
6.20252490546751, 8.26779964588656, 8.06711631671647, 7.86610461555747,
7.66476622681244, 7.46310282353722, 7.26111606753518, 7.05880760945069,
6.85617908886182, 6.65323213437205, 6.44996836370108, 6.24638938377474,
6.04249679081404, 8.08543143687201, 7.88937668440084, 7.69299009870359,
7.49627335453585, 7.29922811555063, 7.10185603438936, 6.90415875277201,
6.70613790158635, 6.50779510097636, 6.30913196042974, 6.11015007886457,
5.91085104471518, 7.93061256207576, 7.73848107017399, 7.54601514630728,
7.3532164548195, 7.16008664917265, 6.96662737203485, 6.7728402553675,
6.57872692051164, 6.38428897827341, 6.18952802900874, 5.99444566270719,
5.79904345907504, 7.79614628340926, 7.60741771126701, 7.41835270460851,
7.2289529171241, 7.03921999182307, 6.84915556111902, 6.65876124691438,
6.46803866068416, 6.27698940355893, 6.08561506640695, 5.89391722991556,
5.70189746467181, 7.67733775913916, 7.49161228525216, 7.30554880534835,
7.11914896248988, 6.93241438924182, 6.74534670775515, 6.55794752984902,
6.37021845709215, 6.18216108088354, 5.99377698253235, 5.80506773333712,
5.61603489466418, 7.5709520023041, 7.3879127571883, 7.20453425705099,
7.02081813449161, 6.83676601178218, 6.65237950094813, 6.46766020384846,
6.28260971225508, 6.09722960793146, 5.91152146271053, 5.72548683857184,
5.53912728771803, 7.47466418569886, 7.29405385400307, 7.11310326613761,
6.9318140444779, 6.75018780122923, 6.5682261385056, 6.38593064840804,
6.20330291310201, 6.02034450489423, 5.83705698630867, 5.65344191016203,
5.46950081963829, 7.3867468512066, 7.20835232899164, 7.02961674413013,
6.85054170904833, 6.67112882614881, 6.49137968788769, 6.31129587685102,
6.13087896583062, 5.95013051789909, 5.76905208648422, 5.58764521544269,
5.40591143913309, 7.30588106490289, 7.12952297600297, 6.95282317363471,
6.77578326056511, 6.59840482967455, 6.4206894640324, 6.24263873697182,
6.06425421216397, 5.88553744369151, 5.70648997612139, 5.52711334457709,
5.34740907481004, 7.23103683577564, 7.05656212263367, 6.88174517153485,
6.70658757587974, 6.53109091931105, 6.35525677578768, 6.17908670965812,
6.00258227573309, 5.82574501935767, 5.64857647648261, 5.47107817373513,
5.29325162848903, 7.16139436134207, 6.98867089917336, 6.81560477840227,
6.64219758335165, 6.46845088870781, 6.29436625959328, 6.1199452516386,
5.94518941105382, 5.77010027469909, 5.59467937015477, 5.41892821579085,
5.24284832083573, 7.09629042461093, 6.92520301178304, 6.75377260599608,
6.58200078277584, 6.40988910812628, 6.23743913860088, 6.06465242137331,
5.89153049430752, 5.71807488602711, 5.54428711598418, 5.37016869452754,
5.19572112297026, 7.03518087250459, 6.86562818364286, 6.69573223984451,
6.52549460810856, 6.35491684602097, 6.18400050182467, 6.01274711448908,
5.84115821377896, 5.66923532032263, 5.49697994567962, 5.32439359240773,
5.15147775412946, 6.97761370854148, 6.80950593760835, 6.64105471097168,
6.47226158736275, 6.30312811620306, 6.13365583767325, 5.96384628278145,
5.79370097343104, 5.62322142248771, 5.45240913384602, 5.28126560249541,
5.1097923145855, 6.92320938647168, 6.75646639488318, 6.58937979896262,
6.42195114942078, 6.25418198775705, 6.08607384632729, 5.91762824841104,
5.74884670827825, 5.57973073125531, 5.41028181379056, 5.24050144351922,
5.07039109932776), .Dim = c(12L, 18L), .Dimnames = list(NULL,
NULL))
Ahora remodelamos los datos para agilizar la estimación del modelo de regresión:
# flatten response and create design matrix from predictor levels
DeltaT <- as.vector(DeltaT_matrix)
Ta_in <- rep(R_a, 18)
u <- rep(R_u, each = 12)
# assemble data frame for modeling
df <- data.frame(Ta_in, u, DeltaT)
Por último, ajustamos el modelo lineal:
# fit linear model
my_model <- lm(data = df, DeltaT ~ Ta_in*log(u) )
summary(my_model)
#
# Call:
# lm(formula = DeltaT ~ Ta_in * log(u), data = df)
#
# Residuals:
# Min 1Q Median 3Q Max
# -0.0165326 -0.0020604 0.0003775 0.0032458 0.0070474
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept) 11.8946112 0.0051852 2294.0 <2e-16 ***
# Ta_in -0.3343834 0.0002908 -1150.1 <2e-16 ***
# log(u) -1.7572983 0.0050434 -348.4 <2e-16 ***
# Ta_in:log(u) 0.0504915 0.0002828 178.5 <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 0.004541 on 212 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: 1
# F-statistic: 2.513e+06 on 3 and 212 DF, p-value: < 2.2e-16
my_summary <- summary(my_model)
my_summary$adj.r.squared
# [1] 0.9999715
El ajuste $R^2$ es muy alto, teniendo en cuenta que tenemos muchos puntos de entrenamiento y sólo 4 parámetros. Para obtener otra medida de la precisión de la aproximación, calculemos la raíz cuadrada media relativa error: podemos hacerlo porque DeltaT nunca se acerca a 0.
RMSRE <- function(residuals, response){
sqrt(mean((residuals/response)^2))
}
RMSRE(my_summary$residuals, df$DeltaT)
# [1] 0.0006351842
Comprobación del modelo con datos extrapolados
Veamos cómo nos va en la extrapolación: Volví a ejecutar su código Python cambiando sólo estas líneas
R_a = np.arange(1, 15, 1)
R_u = np.arange(0.01, 0.1, 0.01)
y tengo un nuevo Ta de su código. Repitiendo pasos análogos a los realizados anteriormente, almaceno los puntos extrapolados en el dataframe df_extrapolated :
DeltaT <- as.vector(DeltaT_matrix_extrapolated)
R_a <- seq(1, 14)
R_u <- seq(0.01, 0.09, by = 0.01)
Ta_in <- rep(R_a, 9)
u <- rep(R_u, each = 14)
df_extrapolated <- data.frame(Ta_in, u, DeltaT)
Para obtener predicciones en los nuevos puntos, es conveniente generar la matriz modelo X y convertirlo en un marco de datos, para utilizarlo con la función genérica predict :
X <- data.frame(model.matrix.lm(my_model, data = df_extrapolated))
my_predictions <- predict(my_model, X)
extrapolation_residuals <- my_predictions - DeltaT
RMSRE(extrapolation_residuals, DeltaT)
# [1] 0.0160831
El error relativo cuadrático medio sigue siendo bastante pequeño ( $\sim 1.6\%$ ) aunque probáramos el modelo para valores de $T_a$ y $u$ considerablemente inferiores a los utilizados en el ajuste del modelo. Recuerde que $\log(0)$ es indefinido, por lo que el hecho de que incluso cuando nos acercamos a la $u=0$ línea, la aproximación sigue siendo buena, es definitivamente notable.
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Es tan suave que cualquier ajuste de curva no lineal debería funcionar aquí. En regresión se linealizan los datos o se utiliza algo como GAM, que debería funcionar muy bien.
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¿Podría publicar un enlace a los datos? Los pasaré por el "buscador de funciones" de ecuaciones de superficie en 3D de mi sitio web para ver si encuentro una función de aproximación sencilla.
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Para su función de aproximación, ¿cuánto le importa la precisión (es decir, lo cerca que está la aproximación de la curva real) frente a la facilidad intuitiva de comunicación? Por ejemplo, regresión polinómica fraccionaria pueden proporcionar un ajuste funcional preciso, mientras que funciones de bisagra puede describir intuitivamente funciones en un modelo de mínimos cuadrados no lineales ( a la lineal hasta $X=$ *valor*, cuando la línea cambia de pendiente. Además: ¿hasta qué punto te importa la robustez entre diferentes muestras?
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Parece que la salida es una función lineal de una de las dos variables (supongo que $T_{a,i}$ con una pendiente (y posiblemente un intercepto) que depende del valor de la otra variable, y una función de potencia simple en la otra variable. Algo así como $y(T_{a,i}, u) = \beta_0+\beta_1 T_{a,i}u^{\frac{1}{\beta_2}}$ con $\beta_2\geq 1$ . Esto se podría ajustar fácilmente con NLS restringido. Si, para cada $u$ el intercepto de la función lineal resultante de $T_{a,i}$ depende de $u$ entonces la expresión se complica un poco más.
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He intentado ajustar los datos de tu superficie trazada a más de un centenar de ecuaciones de superficie tridimensionales conocidas y nombradas con cuatro o menos parámetros y no he encontrado un ajuste exacto (o casi exacto) que funcione como función de aproximación, dado que el objetivo era reducir la potencia de cálculo necesaria.
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