Hace mucho tiempo, me enseñaron que$\log(ab)=\log a + \log b$ y$\log(a/b)=\log a - \log b$
Entonces me acordé de eso de esta respuesta en el sitio: pregunta simple de la teoría de la información: ¿de dónde viene esta ecuación?
No tengo problemas para aplicar esta regla, pero podría alguien ayudarme a explicar la intuición detrás de ella para que yo realmente entienda.
Suponga que tiene una tabla de potencias de 2, que tiene este aspecto: (después de la revisión)
$$\begin{array}{rrrrrrrrrr} 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ 1&2&4&8&16&32&64&128&256&512&1024 \end{array}$$
Cada columna indica cuántos niños de dos años tiene que multiplicar para obtener el número de la columna. Por ejemplo, si se multiplica 5 de dos años de edad, consigue $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$, que es el número en la columna 5.
Ahora supongamos que queremos multiplicar dos números de la fila inferior, decir $16\cdot 64$. Así, el $16$ es el producto de 4 de dos en dos, y el $64$ es el producto de 6 de dos en dos, de modo que cuando usted multiplicar juntos se obtiene un producto de 10 niños de dos años, que es $1024$.
Observe que para multiplicar los números, tenemos que contar el número de dos en dos y añadir el número de dos en dos para obtener el número total de niños de dos años nos fueron multiplicando.
La fila superior es exactamente el logaritmo de la fila inferior, y es por eso $\log(ab) = \log a + \log b$. El logaritmo de $x$ dice cómo muchos niños de dos años tiene que multiplicar para obtener $x$. Y cuántos de dos años de edad deben multiplicar para obtener $xy$? Usted tiene que multiplicar todos los niños de dos años de$x$,$\log x$, además de todos los niños de dos años de$y$,$\log y$, por lo que hay un total de $\log x + \log y$ dos multiplicado a hacer $xy$.
Los logaritmos son, en un sentido, una sofisticada manera de contar dígitos/potencias de diez (especialmente si usted trabaja en base diez).
Supongamos que yo pregunte cuántos dígitos $3723\cdot245$. Usted puede mirar en el este y la razón por la que $3723$ está en el orden de $1000$ (tres ceros), y $245$ está en el orden de $100$ (dos ceros), así que esperamos que las $3723\cdot245$ a estar en el orden de $1000\cdot100=100000$, ($3+2=5$ ceros). Y, por supuesto, $3723\cdot245=912135$, e $912135$ es aproximadamente del orden de $100000$.
Sabemos cómo contar los dígitos al multiplicar potencias de diez; acaba de agregar los ceros! Tratamos de extender este razonamiento a el resto de los números. Podría venir para arriba con algunos regla como $d(3723)=3$, e $d(245)=2$, lo $d(3723\cdot245)=d(3723)+ d(245)=3+2=5$.
Tan lejos, tan bueno.
Pero espera...
Cuando tratamos de la misma cosa con $7723\cdot645=4981335$, las cosas comienzan a romper. $d(7723)=3$, e $d(654)=2$, pero $d(4981335)=6$. ¿Cómo podemos solucionar este problema?
Bueno... Quizás $7723$ está más cerca de a $10000$ que $1000$, e $645$ es algo a medio camino entre el$1000$$100$, así que vamos a decir $d(7723)=3.5$, e $d(645)=2.5$. Así que tratamos de $d(7723\cdot645)=d(7723)+d(645)$, y todo parece funcionar.
Pero nuestro razonamiento está empezando a ponerse muy descuidado. Vamos a tratar de hacer de este dígito de conteo cosa más riguroso.
Queremos trabajar con potencias de diez, porque el conteo dígitos al multiplicar potencias de diez es fácil. Así que ¿cuántas decenas hay en $7723$? Así, sólo tenemos que solucionar $7723=10^x$. Obtenemos algo como $3.8878$. Para $645$, obtenemos aproximadamente el $2.8096$. Para $4981335$, obtenemos $6.6973$. Y, por supuesto, $3.8878+2.8096\approx6.6973$.
Asumiendo$log$ base 10 por conveniencia, aquí hay una prueba de la primera regla:$10^{\log(a)}= a$ y$10^{\log(b)}=b$. Por lo que entonces $ab=10^{\log(a)}10^{\log(b)}=10^{\log(a)+\log(b)}$.
Luego, toma$\log$ base 10 en ambos lados para obtener$\log(ab)=\log(a)+\log(b)$.
Del mismo modo, puede mostrar la otra regla. Puede ser más fácil pensar en$a/b$ como$ab^{-1}$.
La intuición es que, dado que el logaritmo le da el poder necesario para elevar la base para obtener un cierto número, debe seguir la ley de los exponentes.
Las reglas de los logaritmos son simplemente un reflejo de las reglas de los exponentes: $$10^x \cdot 10^y = 10^{x+y}.$$ Por definición, si estamos usando los comunes (base diez) logaritmo, $\log(10^x) = x$, $\log(10^y) = y$, y $\log(10^{x+y}) = x+y$. Gracias al uso de estas ecuaciones para sustituir $10^{x+y}$, $x$, y $y$, se se puede reescribir la ecuación de $\log(10^{x+y}) = x+y$ $$\log(10^x 10^y) = \log(10^x) + \log(10^y).$$
Alternativamente, uno puede pensar acerca de los logaritmos en su contexto histórico. Las propiedades de $\log(ab) = \log a + \log b$ $\log(a/b) = \log a - \log b$ puede verse como la razón por qué los logaritmos fueron desarrollados en el primer lugar. La multiplicación de una larga lista de números de cinco dígitos por mano es muy tedioso, consume mucho tiempo y es propenso a errores; pero armado con una tabla de cinco-lugar logaritmos, usted puede convertir ese horrible problema de multiplicación en un problema de la simple adición de un columna de números. Prácticamente se puede definir como logaritmos "las cosas que usted puede agregar a fin de realizar la multiplicación."
Y si usted realmente desea desarrollar un arraigado intuición de los logaritmos, aprender a utilizar una regla de cálculo. Si jugar con una regla de cálculo (por ejemplo, este) por el movimiento de la varilla de desplazamiento de ida y vuelta, usted puede notar que lo que número en el D de la escala está por debajo de la escala de C del número de $1$, el número en la D de la escala debajo de la escala de C $2$ es exactamente dos veces el primer número. Y puesto que el $1$ $2$ están grabados en la escala de C como las marcas en una regla, la distancia entre ellos nunca cambia; es decir, viajar esa distancia a la derecha es el mismo que multiplicar por $2$. Finalmente, puede entender $\log 2$ a medida que la distancia entre el $1$ $2$ en su regla de cálculo de la escala de C, de modo que cada vez que se mueve mucho más a la a la derecha (es decir, cada vez que se añada $\log 2$ a la distancia recorrida a lo largo de la D de la escala) el doble del número en el D de la escala. Si desea que el valor numérico de la distancia, usted sólo tiene que mirar por debajo de el L'escala, que indica el logaritmo de cada número en la D de la escala; el L'escala está marcado con números que aumentan tan uniformemente como el medidas de una regla.
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