Prueba $\dim E=\dim \ker f + \dim \operatorname*{Im}{f}$

Question

Dejemos que $f:E \rightarrow F$ sea una transformación lineal.

Mi intento de resolver esto:

Dejemos que $\dim E=n$ , $\dim \ker{f}=m$ , $\dim \operatorname*{Im}{f}=p$

Tenemos que demostrar que $n=m+p$ .

Dejemos que $\{v_1,\dots,v_n\}$ sea una base para $E$ .

Dejemos que $\{u_1,\dots,u_m\}$ sea una base para $\ker{f}$ .

Dejemos que $\{t_1,\dots,t_p\}$ sea una base para $\operatorname*{Im}{f}$ .

Dejemos que $x_1 \in \ker{f} $ Entonces $x_1$ puede escribirse como una combinación lineal de $\{u_1,\dots,u_m\}$ .tal que $f(x_1)=0$ .

Dejemos que $x_2 \in \operatorname*{Im}{f} $ Entonces $x_2$ puede escribirse como una combinación lineal de $\{t_1,\dots,t_p\}$ .

si $x_1 \in \ker{f} $ Entonces $x_1 \in E$ Desde $\ker{f}\subset E$

Entonces $x_1$ puede escribirse como una combinación lineal de $\{v_1,\dots,v_n\}$

$x_1=a_1v_1+\cdots+a_nv_n$

si $x_2 \in \operatorname*{Im}{f}$ entonces $\exists x' \in E /f(x')=x_2$

$x'$ es una combinación lineal de $\{v_1,\dots,v_n\}$

$x'=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$

$x_2=f(x')=c_1f(v_1)+\cdots+c_nf(v_n)$

No tengo ni idea de cómo continuar.

Si alguien pudiera señalar mis errores y aportar cuál es la mejor manera de abordar este tipo de problemas, se lo agradecería.

Answer 1

Dejemos que $\{v_1 \dots v_m\}$ ser la base de $\ker(f)$

Dejemos que $\{v_1 \dots v_n\}$ ser la base de $E$

Afirmamos que $A=\{T(v_{m+1}) \dots T(v_n)\}$ es una base para $\operatorname*{Im}(f)$

Dejemos que $v \in \operatorname*{Im}(f)$ . Entonces $v=T(w)$ para $w \in E$ . Esto significa que $w$ puede expresarse como $$w=\sum_{1}^{n}\alpha_iv_i$$

Entonces $v=T(w)=T(\sum_{1}^{n}\alpha_iv_i)=\sum_{1}^{n}\alpha_iT(v_i)=\sum_{m+1}^{n}\alpha_iT(v_i)$ desde la primera $m$ términos están en el núcleo.

Por lo tanto, $v \in \operatorname*{span}\{A\}$ .

Ahora tenemos que demostrar la independencia lineal:

Dejemos que $\sum_{m+1}^{n}\alpha_iT(v_i)=0 \Leftrightarrow T(\sum_{m+1}^{n}\alpha_iv_i)=0 \Leftrightarrow \sum_{m+1}^{n}\alpha_iv_i \in \ker(f)$

Pero como cada $v_i$ no está en el núcleo, esto implica que el $\alpha_i$ son iguales a $0$ lo que demuestra la afirmación