Raíces de la unidad en $\Bbb{Z}[X]/(X^2+X+1)^2$

Question

Sea $f:=X^2+X+1\in\Bbb{Z}[X]$ y que $A:=\Bbb{Z}[X]/(f^2)$ . Estoy bastante convencido de que las únicas raíces de la unidad en $A$ son $\pm1$ es decir, que $A^{\times}_{\mathrm{tor}}=\langle-1\rangle$ . Mi "prueba" actual no es mucho más que una larga y engorrosa serie de cálculos, espero un argumento claro y sencillo de que esto es así.

El problema se simplifica enormemente por el hecho de que el mapa $A^{\times}_{\mathrm{tor}}\ \longrightarrow\ (A_{\mathrm{red}})^{\times}_{\mathrm{tor}}$ inducido por el mapa cociente $A\ \longrightarrow\ A_{\mathrm{red}}=A/\sqrt{0_A}$ es inyectiva. Aquí $A_{\mathrm{red}}=\Bbb{Z}[X]/(f)\cong\Bbb{Z}[\zeta_3]$ Así que $A^{\times}_{\mathrm{tor}}$ es cíclico y su orden divide a $6$ . Por lo tanto, para demostrar que $A^{\times}_{\mathrm{tor}}=\langle-1\rangle$ basta con demostrar que $A^{\times}$ no tiene $3$ -torsión. Mi pregunta es si hay una manera fácil de ver que esto es así, si esto es realmente así.

Answer 1

Se puede utilizar una variante de la elevación de Hensel para llegar a este resultado.

Sea $ g(X) = X^2 + X + 1 $ y supongamos que $ P \in A $ es $ 3 $ -torsión. Esto equivale a $ g(P) = 0 $ en el ring $ A $ en efecto, tenemos que $ P^3 - 1 = (P-1)(P^2 + P + 1) = 0 $ y los factores $ P - 1 $ y $ P^2 + P + 1 $ tienen el máximo común divisor que divide a $ 3 $ en el ring $ \mathbf Z[X] $ .

Entonces, vemos que $ P = a + (X^2 + X + 1) Q(X) $ para algunos $ Q \in \mathbf Z[X] $ donde $ a = X $ o $ a = -X-1 $ . Tenemos que

$$ g(P) = g(a + (X^2 + X + 1) Q(X)) = g(a) + g'(a) (X^2 + X + 1) Q(X) $$

en $ A $ . En cualquier caso, $ g(a) = X^2 + X + 1 $ por lo que se simplifica, al dividir por $ X^2 + X + 1 $ a la igualdad

$$ 1 + (2 \zeta_3 + 1) Q(\zeta_3) = 0 $$

en el ring $ \mathbf Z[\zeta_3] $ . Esto es imposible, ya que implica que el elemento $ 2 \zeta_3 + 1 $ es una unidad en $ \mathbf Z[\zeta_3] $ .

Edita: Como ventaja añadida, este método también produce la solución encontrada por Hurkyl en los comentarios. En efecto, si nos situamos en $ \mathbf Q[X]/(X^2 + X + 1)^2 $ obtenemos el resultado $ Q(\zeta_3) = (2\zeta_3 + 1)/3 $ para que podamos tomar $ Q(X) = (2X + 1)/3 $ para obtener

$$ P(X) = X + \frac{(X^2 + X + 1)(2X + 1)}{3} = \frac{2}{3} X^3 + X^2 + 2X + \frac{1}{3} $$

Esto no es sorprendente, dado que el método de Newton para polinomios en $ p $ -Ajustes de la adicción es otro nombre para el levantamiento de Hensel.