Que $(X,|\cdot|)$ ser un espacio de Banach y $A,B,C\subset X$ cerrada acotados no vacía de subconjuntos convexos. Que $+$ denotan el símbolo de Minkowski para la adición.
Satisface el $+$: $$A+C\subset B+C\implies A\subset B$ $
Respuesta
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JiminyCricket
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Es lo que hace. Supongamos $a\in A$$a\notin B$. Desde $B$ es cerrado y no vacío, no es $b\in B$ con un mínimo de distancia de $A$. Proyecto de todo a $a-b$, e indicar la proyección de los objetos por los números primos. Dado que los conjuntos son cerrados y convexos, sus proyecciones son intervalos cerrados. $B'$ es todos en un lado de la $a'$, ya que el segmento de la línea de $b$ a un punto cuya proyección está en el otro lado de la $a'$ contendría puntos más próximos a$a$$b$. Por lo tanto $a'+C'\not\subset B'+C'$, por lo tanto $a+C\not\subset B+C$ e lo $A+C\not\subset B+C$.
[Modificar:]
Como t.b. se ha señalado, esto no funciona en general, pero como D. Thomine señaló, que pueden ser fijas con el de Hahn–Banach teorema. De nuevo, supongamos $a\in A$$a\notin B$. Desde $\{a\}$ es convexo y compacto y $B$ es convexo y cerrado, hay un continuo lineal mapa de $\lambda:X\to\mathbb R$ estrictamente la separación de los dos, así que no es de $s\in\mathbb R$ tal que $\lambda(a)\lt s\lt\lambda(b)$ todos los $b\in B$. Desde $C$ es limitado y $\lambda$ es continua, $\lambda(C)$ está acotada. Por lo tanto $\lambda(a)+\lambda(C)\not\subset\lambda(B)+\lambda(C)$, por lo tanto $a+C\not\subset B+C$ e lo $A+C\not\subset B+C$.
Tenga en cuenta que sólo el acotamiento de $C$, no el de $A$ o $B$ ha sido utilizado.
