Acoplamiento de cadena abierta

Question

Estoy leyendo el Primer Curso de Teoría de Cuerdas de Zwiebach. Actualmente estoy aprendiendo sobre el acoplamiento de cuerdas. Zwiebach dice que es posible demostrar que $g_o^2=g_c$ donde $g_o,\ g_c$ son las constantes de acoplamiento de cuerda abierta y cerrada, respectivamente. Afirma que esto se debe a ciertas propiedades topológicas de las hojas del mundo.

¿Por qué, más concretamente, es esto cierto? ¿Podría alguien explicármelo y/o indicarme alguna prueba?

Muchas gracias.

Answer 1

La relación se mantiene porque los diagramas de Feynman en la teoría de cuerdas están ponderados por una función del Característica de Euler $\chi$ (pronúnciese: chi) $${\mathcal A}_\Sigma = g_c^{-\chi_\Sigma} \cdot {\mathcal A}_\text{without couplings} $$ Ahora bien, una historia de división y unión de cadenas puede representarse mediante una superficie de Riemann (después de cambiar a la firma de la hoja del mundo euclidiano y después de realizar algunas transformaciones conformes) y la superficie general de Riemann puede escribirse como un género $h$ superficie (es decir, una esfera con $h$ asas adicionales añadidas, por ejemplo $h=1$ da el toroide) con $b$ límites adicionales (un disco que se corta de la superficie en algún lugar) y $c$ crosscaps adicionales (límites con la identificación de los puntos opuestos, de modo que la superficie no tiene nuevos límites, sino que se vuelve desorientable). Se puede demostrar que $$\chi = 2-2h - b - c,$$ véase, por ejemplo, el artículo en el enlace "Característica de Euler" más arriba. Así que la adición de un mango, $h\to h+1$ que equivale a añadir dos vértices de interacción de cuerda cerrada (un tubo, es decir, una cuerda cerrada virtual es emitida por la superficie y absorbida en otro lugar), cambia la característica de Euler a $\chi\to \chi-2$ y añade $g_c^2$ a la dependencia del diagrama de los acoplamientos de las cuerdas.

Es el mismo cambio que podemos obtener añadiendo dos límites, $b\to b+2$ . Pero un límite adicional añade un bucle de cadena abierta, es decir, dos vértices de interacción abierta (un intervalo de líneas, es decir, una cadena abierta virtual que se emite en algún lugar del límite de la hoja del mundo y se reabsorbe, creando un nuevo límite en su interior), por lo que dos límites son cuatro vértices de interacción de cadena abierta y, por lo tanto, el diagrama obtiene un extra $g_o^4$ . Por lo tanto, tenemos $g_c^2\sim g_o^4$ o $g_c\sim g_o^2$ (hasta el coeficiente global puramente numérico que debe calcularse correctamente, y hasta un signo).

Para algunos conceptos básicos sobre la topología de los diagramas de cuerdas y su dependencia del acoplamiento de cuerdas, véase, por ejemplo, el comienzo del capítulo 3 de la Teoría de Cuerdas de Joe Polchinski, volumen I. Tu proporcionalidad aparece como ecuación (3.2.7) allí.