¿Cómo se resuelve este límite mediante integración definida?

Question

$$ \lim \limits_{r \to \infty} \frac {r^C \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^r \sin(x)\, dx}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^r \cos(x)\, dx} = L$$

Hallar el valor de $\pi L - C$ dado que $C\in\mathbb{R}$ y $L>0$ .

Mi enfoque:

He intentado aplicar la integración por partes tanto al numerador como al denominador para obtener una relación recurrente, con la esperanza de anular algo, pero ha sido en vano. No consigo ningún otro método para resolverlo, así que cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Probablemente tenga una solución sencilla que muchos pasaron por alto, mediante un enfoque probabilístico/distributivo. Es bastante trivial que:

$$ \lim_{r\to +\infty}\frac{\int_{0}^{\pi/2}x^{r+1}\sin(x)\,dx}{\int_{0}^{\pi/2}x^r\sin(x)\,dx} = \frac{\pi}{2} $$ ya que las funciones integrando en el numerador/denominador se concentran cada vez más alrededor del extremo derecho a medida que $r$ aumenta, y su relación en $x=\frac{\pi}{2}$ es exactamente $\frac{\pi}{2}$ . Utilizando la integración por partes, tenemos: $$ \lim_{r\to +\infty}\frac{(r+1)\int_{0}^{\pi/2}x^{r}\cos(x)\,dx}{\int_{0}^{\pi/2}x^r\sin(x)\,dx} = \frac{\pi}{2}$$ por lo que el límite dado es finito si $C=-1$ y en tal caso $L=\frac{2}{\pi}$ .

Answer 2

Esto es 2011 putnam A3 problema, se puede ver alguna solución: http://www.artofproblemsolving.com/community/c7h449984p2531777

Answer 3

Se puede resolver el problema del PO aplicando el siguiente resultado

Proposición: Supongamos que $(\Omega,\mathscr{F},\mu)$ es un espacio de medidas finito y $f\in L_\infty$ . Defina $\alpha_p =\int_X |f|^p\,d\mu$ . Entonces $$\frac{\alpha_{p+1}}{\alpha_p}\xrightarrow{p\rightarrow\infty}\|f\|_\infty$$

al caso $([0,\pi/2],\mathscr{B}([0,\pi/2]),\mu)$ donde $\mu(dx)=\mathbb{1}_{[0,\pi/2]}(x)\,\sin(x)\,dx$ y $f(x)=x$ . En este caso, tras una aplicación de la integración por partes, obtenemos $$ \lim_{r\to \infty}\frac{\int_{0}^{\pi/2}x^{r+1}\sin x\,dx}{\int_{0}^{\pi/2}x^r\sin x\,dx} = \lim_{r\to\infty} \frac{(r+1)\int^{\pi/2}_0 x^r\cos x\,dx}{\int^{\pi/2}_0 x^r\sin x\,dx}=\|f\|_\infty=\frac{\pi}{2} $$

Esto da valores posibles $L=\frac{2}{\pi}$ y $C=-1$ .

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Nota:

• Se puede encontrar una prueba de la proposición anterior aquí . La demostración se basa en la desigualdad de Holder junto con el conocido límite $\lim_{p\rightarrow\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty$ .