En la serie binomial $(1+\frac{1}{8n})^{1/2}$, donde $n$ es un número perfecto incluso

Question

Desde $\sqrt{1+8n}=\sqrt{8n}\sqrt{1+\frac{1}{8n}}$, e $\frac{1}{8n}<1$ al $n>1$ es un número entero, entonces podemos expresar el número real $\sqrt{1+\frac{1}{8n}}$ por su binomio de la serie. Esta serie se inicia como $$1+\frac{1}{2}\frac{1}{8n}+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{2!}\left(\frac{1}{8n}\right)^2+ \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}-2\right)}{3!}\left(\frac{1}{8n}\right)^3+\cdots$$

Mi intento fue así, suponiendo que $n>1$ (incluso un número perfecto, es omitida si usted no lee el apéndice) un entero positivo fijo calcular el k-ésimo término: el factor de $\frac{1}{k!}\left(\frac{1}{8n}\right)^k$ es easiy compute como $\frac{1}{k!2^{3k}n^k}$, y si $k=j+1$, un producto de $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}-2\right)\cdots\left(\frac{1}{2}-j\right)$ se calcula como, desde allí se $j+1$ factores, $\frac{(-1)^j}{2^{j+1}}\cdot1\cdot 3\cdot 5\cdots(2j-1)$.

Mi pregunta es

Pregunta. Calcular en una forma cerrada el binomio de la serie $(1+\frac{1}{8n})^{1/2}$ donde $n>1$ fijo es un número entero (por lo tanto se muestran en el término general de la expansión en forma cerrada). Gracias de antemano.

Apéndice (Opcional, voy a mostrar el contexto de la anterior): he escrito un post en este Matemática de Intercambio de la Pila que los estados

Hecho 1. Si $n$ es incluso un número perfecto a continuación, responde a $$2\sigma(2n)-1-4n=\sqrt{1+8n},$$ donde $\sigma(m)$ es la suma de los divisores de la función.

Declaración anterior es fácil de probar usando el teorema de Euler para el perfecto números, ver [1] para las definiciones generales y de las declaraciones o de este sitio. Dado que cada número perfecto es un triángulo número $n=\frac{q+1}{2}\cdot q=2^{p-1}\cdot(2^p-1)$ donde $q=2^p-1$ es el de Mersenne prime correspondiente a $n$, es fácil probar

Hecho 2. Si $n=\frac{q+1}{2}\cdot q$ es incluso un número perfecto (lo $q=2^p-1$ es su asssociated Mersenne prime), a continuación, $$2q+1=\sqrt{1+8n}$$ (es un entero positivo).

Mi objetivo es poner más del pensamiento en la ecuación $$2q+1=2\sqrt{q(q+1)}\cdot\left(\text{binomial series corresponding to }\sqrt{1+\frac{1}{8n}}\right),$$ y si es posible editar nuevo post en este sitio, no sé si de esta manera para extraer información acerca de perfecto números serán útiles, sugerencias serán bienvenidos. Gracias.

Referencias:

[1] Perfecto números, Generalizada del teorema del binomio, la Suma de los divisores de la función, Mathworld o Wikipedia.

[2] yo intento integrar otro factor 2 en la definición de perfecto números

Answer 1

Por sugerencia de un usuario, ver los comentarios, finalmente podemos calcular el término general como $$\frac{(-1)^k}{(k+1)2^{5k+4}n^{k+1}}\binom{2k}{k}.$$ A continuación, para cada entero positivo $$(1+\frac{1}{8n})^{1/2}=1+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)2^{5k+4}n^{k+1}}\binom{2k}{k}.$$

También podemos realizar un cambio en resumen índice para escribir una fija (y positivo) del triángulo de número de $n=\frac{t+1}{2}\cdot t$ que $$2\sqrt{t(t+1)}\cdot\left( 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} \binom{2k-2}{k-1}}{k2^{4k-1}t^k(t+1)^k}\right)=2t+1,$$ así, el pasado ecuación en (me pregunta) el post parece que no es especial para el perfecto números.

Por último, si $n=\frac{q+1}{2}\cdot q$ es incluso un número perfecto, donde $q$ es su correspondiente Mersenne es primo, entonces utilizando la ecuación con la suma de divisor de la función, podemos escribir $$2\sigma(2n)-1-4n=2\sqrt{q(q+1)}\cdot\left( 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} \binom{2k-2}{k-1}}{k2^{4k-1}q^k(q+1)^k}\right).$$

Parece que este último, tampoco es útil.