Ejemplo para el teorema de densidad de Jacobson

Question

Estoy leyendo a través de Lang álgebra. Lang da el Jacobson densidad teorema de la siguiente manera:

Deje $R$ ser un anillo (con la unidad) y $E$ un semisimple $R$-módulo. Deje $R' = \operatorname{End}_R(E), \ R'' = \operatorname{End}_{R'}(E)$.

Deje $x_1, \ldots, x_n \in E, f \in R''$. Entonces existe $r \in R$ tal que $$f(x_i) = r.x_i, i = 1, \ldots, n .$$

En otras palabras, $f$ actúa como algunos $r \in R$ en cada finitely generado submódulo de $E$. Por supuesto, si $E$ es finitely generado, cada elemento de $R''$ actúa como un elemento de $R$$E$.

En cada una de las subsiguientes aplicación del teorema de, $E$ es finitely generado más de $R$. Me gustaría ver algún tipo de norma/natural ejemplos de situaciones en las $E$ no finitely generado y no cada elemento de a $R''$ es representable como un elemento de $R$.

Answer 1

Deje $R=\mathbb{Z}$ (aunque en este ejemplo se generaliza para cualquier anillo conmutativo con infinidad de máxima ideales) y $$E=\bigoplus_p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$$ donde la suma es sobre todos los números primos.

Entonces $$R'\cong R''\cong \prod_p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$$ actuando en $E$ en la forma obvia.

Deje $f=(f_p)\in R''$.

Cualquier subconjunto finito $\{x_1,\dots,x_n\}\subset E$ está contenido en $\bigoplus_{p\in I}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para un conjunto finito $I$ de los números primos y por el Teorema del Resto Chino hay algunos $r\in\mathbb{Z}$ $f_p=r\pmod{p}$ todos los $p\in I$.

Sin embargo, para general $f$ no es $r\in\mathbb{Z}$ $f_p=r\pmod{p}$ para todos los números primos $p$.