$\Sigma_{m|n} \mu(m)^2/\phi(m) = n/\phi(n)$?

Question

Estoy tratando de probar %#% $ #%

Mi primera realización fue que iff #% el $$\sum_{m|n} \mu(m)^2/\phi(m) = n/\phi(n)$% #% o $\mu(m)^2 = 1$ es un factor squareless de $m=1$ y si no es 0. Sea $m$ el conjunto de factores squarefree del $n$.

Así que ahora tenemos una suma ${1,m_1,m_2, ... m_k}$ $

¿Cómo demuestro la suma es igual a $n$? ¿O voy en la dirección equivocada?

Answer 1

Puede saber el resultado de que si$f$ es una función multiplicativa, y$F(n)=\sum_{d\mid n} f(d)$, entonces$F$ es multiplicativo.

Usando ese hecho, solo necesita verificar su afirmación para$n$ una potencia principal, donde es inmediata.

Answer 2

Insinuación. Para un enfoque diferente al establecer que su suma es lo que desea:$$\displaystyle\phi(n) = n\!\!\!\!\!\prod_{p\mid n,\ p\text{ prime}}\!\!\!\!\left(1 - \frac{1}{p}\right).$ $