Pregunta sobre grupos solubles

Question

Me gustaría pedir una aclaración. Me encontré con el siguiente:

Lema 2. Deje $G$ ser finito, solucionable grupo y que $p$ ser un número primo dividiendo $|G|$. Supongamos que $M_1$ $M_2$ son inconjugate máxima subgrupos de $G$, ambos de los cuales tienen $p$-índice de poder en $G$, y ninguno de los cuales es normal en $G$. A continuación,$(M_1\cap M_2)\mathbf{O}^p(G)=G$. Además, si $P_0\in \mathrm{Syl}_p(\mathbf{O}^p(G))$,$(M_1\cap P_0)(M_2\cap P_0) = P_0$.

Prueba. Tenga en cuenta que cada subgrupo maximal que contiene a $\mathbf{O}^p(G)$ es normal de índice $p$. Para demostrar que $(M_1\cap M_2)\mathbf{O}^p(G)$, por lo tanto, es suficiente para mostrar...

No entiendo la primera línea de la prueba. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

El cociente $G/\mathbf{O}^p(G)$ es un $p$-grupo. Por las propiedades básicas de los $p$-grupos sus subgrupos máximos son de índice $p$. También todos máxima los subgrupos de un grupo de % de $p$son normales (un subgrupo de índice igual al factor principal más pequeño del orden del grupo es normal). Por lo que a mí me parece que la primera línea de la prueba se sigue de esto y del principio de correspondencia: los subgrupos de $G/\mathbf{O}^p(G)$ están en correspondencia 1-1 con subgrupos de que contienen del $G$de $\mathbf{O}^p(G)$, se conserva la normalidad.