La anchura $w$ parcial del conjunto ordenado(poset) se define como la cardinalidad de la máxima antichain. Por el Teorema de Dilworth, sabemos que es equivalente al número mínimo de cadenas en cualquier partición.
Si se denota un antichain como $A$ y una partición en cadenas como $P$, entonces sabemos $|A| \leq |P|$. Y Dilworth Teorema nos dice que $\exists A_0, P_0$ s.t. $w = |A_0| = |P_0|$.
Del mismo modo, si se denota una cadena como $C$ y una partición en antichains como $Q$, $\exists C_0, P_0$ s.t. la altura de la $h = |C_0| = |Q_0|$.
Desde $|A| \leq |P|$ siempre tiene, para cumplir con la igualdad, se intenta disminuir $|P|$, lo que significa que la partición de la puesta en menos de cadenas. Sin embargo, dado que la cardinalidad del conjunto es fijo, esto hará que (algunos de) las cadenas más largas. Esto significa que podemos aumentar el $|C|$. Y la pregunta es, ¿siempre existe $P = \{C_1, C_2, \dots, C_k\}$ s.t. $|P| = |P_0|$ $|C_i| = |C_0|$ algunos $i$?
(Es decir, no siempre existe una partición en cadenas con un mínimo de $|P|$ y un máximo de $|C|$?)
