Bien, de hecho es un abuso de notación, aunque, de ninguna manera se podría decir que (1) es una igualdad en $L^2(0,T;V')$, debido a que (1) sólo se mantiene en un número finito de dimensiones subespacio. Multiplicar (1) por la base de lo finito dimensional subespacio
$$
(u_n',w_j) - (\Delta u_n,w_j) = (P_n f,w_j).
$$
La correcta suposición acerca de la condición de límite y continuidad conduce a:
$$
(u_n',w_j) - (\Delta u_n,w_j) = (u_n',w_j) + (\nabla u_n, \nabla w_j).
$$
Por lo tanto:
$$
(P_n f,w_j) = (f,w_j), \quad \text{para } j=1,\ldots,n,
$$
es decir, $P_n f$ $L^2$- proyección de $f$ en este finito dimensionales subespacio.
Yo no vi el papel, pero supongo que la razón para multiplicar una función en $L^2(0,T;V)$ es para obtener algunos de los a priori de la estimación del error de esta aproximación, explotando el hecho de que
$$
(u'-u_n',w_j) + \big(\nabla (u-u_n), \nabla w_j\big) = (f-P_n f,w_j).
$$
EDIT: pregunta en el comentario, en lugar de reclamar (1) sostiene, más bien, lo que podemos hacer es la siguiente
$$
\begin{aligned}
&(u_n',\phi) + a(u_n,\phi)
\\
=& (u_n',P_n\phi) + a(u_n,P_n\phi) + (u_n',\phi - P_n\phi) + a(u_n,\phi-P_n\phi)
\\
=& (P_n f,P_n \phi) + (u_n',\phi - P_n\phi) + a(u_n,\phi-P_n\phi)
\\
=& (P_n f,\phi) + \color{blue}{(u_n',\phi - P_n\phi)} + \color{red}{a(u_n,\phi-P_n\phi) }.
\end{aligned}
$$
Azul término podría desaparecer si integramos w.r.t. el tiempo y la integración por partes para mover la derivada de a $\phi-P_n \phi$. Sin embargo, para el rojo término a desaparecer, debemos tener algo como $\Delta u_n = 0$...
EDIT2: Si decimos $f = g$$L^2(0,T;V')$, no sé lo que el autor hizo, pero de acuerdo a la Evans' libro (véase la Sección 7.1), es
$$\newcommand{\lsub}[2]{{\vphantom{#2}}_{#1}{#2}}
\lsub{V}{\langle f(t,\cdot),v \rangle}_V = \lsub{V}{\langle g(t,\cdot),v \rangle}_V,
$$
para cualquier $v\in V$, en un.e. tiempo $t\in [0,T]$. Este es el mismo con lo que escribiste en el comentario, aunque.
