Encuentre el Poincare Dual de un rayo en$\mathbb{R}^2-\{0\}$

Question

Este es el ejemplo de ejercicio 5.16 en Bott y Tu (que estoy leyendo independientemente a través de.) El problema dice: Vamos a $M=\mathbb{R}^2-\{0\}$, e $X\subseteq M$ ser cerrada submanifold $\{(x,0):x>0\}$. Mostrar que la de Poincaré doble de $X$$d\theta/2\pi$.

Mi intento de solución: queremos demostrar que para todos los $\omega\in H_c^1(M)$, $\int_X\omega=\int_{M}\omega\wedge d\theta/2\pi$. Así que vamos a $\omega=fdr+gd\theta$ ser un cerrado de 1-forma en $M$ con soporte compacto. De ello se desprende que $f$ $g$ tiene soporte compacto, y $d\omega=0$ $\partial f/\partial \theta=\partial g/\partial r$ todas partes en $M$.

Queremos usar esto para mostrar que $\int_X\omega=\int_{0}^\infty f(r,0)dr=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^\infty f(r,\theta)drd\theta$. Así que si por alguna razón $f$ no dependen $\theta$, entonces hemos terminado. Pero no veo la manera de mostrar esto, y mucho menos de cómo utilizar la cerrada de la asunción. Consejos/sugerencias/errores en mi trabajo?

Answer 1

Hay formas más elegante de hacer esto, que usted aprenderá finalmente: si actúa de un compacto grupo $G$ $M$, entonces cualquier cerrada $k$-forma $\omega$ $M$ cohomologous $G$-invariante cerrado $k$-forma $\tilde\omega$ $M$ (es decir, $\omega-\tilde\omega = d\eta$ $k-1$-forma $\eta$).

Pero vamos a hacer a este las manos aquí. Considerar % $ $$\frac d{d\theta}\int_0^\infty f(r,\theta)dr = \int_0^\infty \frac{\partial f}{\partial \theta}dr = \int_0^\infty \frac{\partial g}{\partial r}dr = 0,$desde $g$ tiene soporte compacto en $M$. Así que, evidentemente, $$\int_0^\infty f(r,\theta)dr = \int_0^\infty f(r,0)dr \text{ for all } \theta\in [0,2\pi],$ $ y el resultado sigue.