Una desigualdad usando generalización de Hölder ' desigualdad s

Question

Deje $w$ ser una función peso y $\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\dots+\frac{1}{p_n}$. Para el adecuado funciones deje $\overrightarrow{f}=(f_1,f_2,\dots,f_n)$ y el operador $T$ satisifies la condición $$ T(\overrightarrow{f})(x)\leq \prod_{i=1}^{n}f_{i}(x).\la etiqueta{*} $$ Mediante el uso de (*) y la generalización de Hölder la desigualdad, tengo $$ \left(\int_{\mathbb{R}^n}|T(\overrightarrow{f})(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\int_{\mathbb{R}^n}| \prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f_{i}(x)|^{p_i}w(x)^pdx\right)^{\frac{1}{p_i}}, $$ donde puedo solicitar Hölder la desigualdad de la medida $d\mu(x)=w(x)^p$.

Pero el papel lo que he leído ahora escribe esta desigualdad como la siguiente $$ \left(\int_{\mathbb{R}^n}|T(\overrightarrow{f})(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\int_{\mathbb{R}^n}| \prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f_{i}(x)w(x)|^{p_i}dx\right)^{\frac{1}{p_i}}. $$ Cuál es la verdadera?

Answer 1

<blockquote> <p><strong>El resultado es totalmente cierto:</strong></p> </blockquote> <p>Aquí es una manera de comprobarlo: Let $\mu $ ser la medida $$d\mu(x)= w^p(x)dx$ $</p> <p>Ahora aplicamos el titular desigualdad w.r.t la medida $\mu$ entonces tenemos,</p> <p>$$\left(\int_{\mathbb{R}^n}|T(\overrightarrow{f})(x)|^p\color{red}{d\mu(x)}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\int_{\mathbb{R}^n}| \prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)|^p\color{red}{d\mu(x)}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f_{i}(x)|^{p_i}\color{red}{d\mu(x)}\right)^{\frac{1}{p_i}},$$</p> <p>sustitución de $\mu $ por su valor tenemos: $$\left(\int_{\mathbb{R}^n}|T(\overrightarrow{f})(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\int_{\mathbb{R}^n}\color{red}{\left|\prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)\right|^p} w^p(x)dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f_{i}(x)|^{p_i}w(x)^pdx\right)^{\frac{1}{p_i}},$ $</p> <p>Que proporcionan el resultado.</p> <p><strong>ADVERTENCIA:</strong> Sin embargo, como $\color{blue}{xa_1\times xa_2\times xa_3 = x^3\times a_1\times a_2\times a_3}$, tenga en cuenta que puede existir confusión entre las siguientes: $$\left|\prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)w(x)\right|^p = w^{\color{blue}{np}}(x)\left|\prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)\right|^p$ $ y $$w^p(x)\left|\prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)\right|^p =\left|\prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)\right|^p\times w^p(x)$ $</p>

Answer 2

El uso que: $\left(\int_{\mathbb{R}^n}| \prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f_{i}(x)|^{p_i}w(x)^pdx\right)^{\frac{1}{p_i}}$

Podemos cambiar el nombre de $\tilde{f}_i(x) = f_i(x)w(x)$ $\tilde{w}(x) \equiv 1$ y obtener

$\left(\int_{\mathbb{R}^n}| \prod_{i=1}^{n}f_{i}(x)w(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}} \\ = \left(\int_{\mathbb{R}^n}| \prod_{i=1}^{n}\tilde{f}_{i}(x)\tilde{w}(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}} \\ \leq \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\tilde{f}_{i}(x)|^{p_i}\tilde{w}(x)^pdx\right)^{\frac{1}{p_i}} \\ = \prod_{i=1}^{n}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|f_{i}(x)w(x)|^{p_i}dx\right)^{\frac{1}{p_i}} $

Edit: por Lo que yo diría que ambas desigualdades se cumplen.