Eqautions geodésica y la longitud de una curva en el sistema de coordenadas geodésica.

Question

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Acerca de coordenadas geodésicas:

Let S ser regular. $p\in S$

$\gamma$ ser velocidad unidad geodésica en $S$ % parámetro $v$y $\gamma (0)=p$

$\tilde \gamma^v$ ser unidad velocidad s.t. geodésica $\tilde \gamma^v(0)=\gamma(v)$

es perpendicular a $\tilde \gamma^v$ $\gamma$ $\gamma (v)$.

Definir $\sigma : U\to S$ $\sigma (u,v)=\tilde \gamma^v (u)$

En este sistema de coordenadas la primera forma fundamental es $ds^2=du^2+G(u,v)dv^2$ donde $G(0,v)=1 $ y $G_u(0,v)=0$

Gracias por ayudar.

Answer 1

Suponiendo que el procedimiento descrito en el cuerpo de la pregunta en realidad hace es definir una coordenada parche (no he comprobado, pero parece bastante plausible así que voy a aceptar su validez), entonces, en la medida de como encontrar la geodésica ecuaciones se refiere, estamos reducidos a la simple cuestión de encontrar una métrica de la forma

$\hat g = ds^2 = du^2 + G(u, v)dv^2, \tag{1}$

donde $G(u, v)$ cumple con los presentados condiciones:

$G(0, v) = 1 \; \text{and} \; G_u(0, v) = 0. \tag{2}$

Estas ecuaciones se derivan en mi respuesta a este uno de B11b otras preguntas; hemos

$\ddot u + \dot u^2 \Gamma_{11}^1 + 2\dot u \dot v \Gamma_{12}^1 + \dot v^2 \Gamma_{22}^1 = 0 \tag{3}$

y

$\ddot v + \dot u^2 \Gamma_{11}^2 + 2\dot u \dot v \Gamma_{12}^2 + \dot v^2 \Gamma_{22}^2 = 0, \tag{4}$

donde el $\Gamma_{\mu \nu}^\alpha$, $\alpha, \mu, \nu = 1, 2$, son los símbolos de Christoffel de la derivada covariante asociado a la métrica de campo tensorial $ds^2$ de (1). El $\Gamma_{\mu \nu}^\alpha$ puede ser simplemente tenía de los componentes de $\hat g = ds^2$ a través de bien knonw fórmulas que se indican a continuación; antes de continuar en esa dirección, sin embargo, hago una pausa para un ajuste de la notación. En (3) y (4), $u$ $1$- coordinar y $v$ $2$- coordinar en el sentido de que $u$ corresponde al índice "$1$" e $v$ al índice "$2$" en los símbolos de Christoffel. Yo ahora definir/set $x^1 = u$$x^2 = v$, y el uso de la $x^i$, $1 = 1, 2$, en lugar de $u, v$ para los siguientes argumentos/calulations, ya que es notationally mucho más conveniente tratar con variables indexadas/denota en forma consistente durante todo; al final, podemos escribir los resultados en términos de $u, v$ si así lo desea.

Los coeficientes $\Gamma_{\mu \nu}^\alpha$ se producen en (3) y (4) están relacionados con los componentes de $g_{\mu \nu}$ de la métrica $\hat g$ según

$\Gamma_{\mu \nu}^\alpha = \dfrac{1}{2}g^{\alpha \rho}(g_{\rho \mu, \nu} + g_{\rho \nu, \mu} - g_{\mu \nu, \rho}), \tag{5}$

donde los coeficientes $g^{\alpha \rho}$ son los componentes de la inversa de la matriz que representa el campo de tensores $\hat g$ $x^1, x^2$ coordenadas (ver por ejemplo este widipedia entrada). En el presente caso, ya que $\hat g$ toma un sencillo formulario

$ds^2 = \hat g = [g_{\mu \nu}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & G(u, v) \end{bmatrix}, \tag{6}$

tenemos

$[g^{\mu \nu}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & G^{-1}(u, v) \end{bmatrix}, \tag{7}$

y desde $\hat g$ sólo tiene un no constante componente $g_{22} = G(u, v)$, el cálculo de la $\Gamma_{\mu \nu}^\alpha$ se convierte en una cuestión relativamente sencilla; de hecho, desde la $g^{\alpha \beta} = 0$$\alpha \ne \beta$, y desde $g_{\mu \nu, \sigma} = 0$ si $\mu = \nu = 2$, vemos de (5) que

$\Gamma_{22}^1 = \dfrac{1}{2}g^{11}(-g_{22, 1}) = -\dfrac{1}{2}G_{, x_1}; \tag{8}$

$\Gamma_{\mu \nu}^1 = 0 \tag{9}$

si $\mu = 1$ o $\nu = 1$,

y

$\Gamma_{11}^2 = 0; \tag{10}$

$\Gamma_{12}^2 = \Gamma_{21}^2 = \dfrac{1}{2}g^{22}g_{22, 1} = \dfrac{1}{2}G_{-1}G_{, x_1}; \tag{11}$

$\Gamma_{22}^2 = \dfrac{1}{2}g^{22}g_{22, 2} = \dfrac{1}{2}G^{-1}G_{, x_2}, \tag{12}$

en $G_{, x_1} = \partial G / \partial x_1$ y así sucesivamente; todos los otros $\Gamma_{\mu \nu}^\alpha$ se desvanecen. Al parecer, entonces, de la línea geodésica de las ecuaciones (3)-(4) tome la particular forma simple

$\ddot x^1 - \dfrac{1}{2}G_{, x_1}\dot x_2^2 = 0, \tag{13}$

$\ddot x^2 + G^{-1}G_{, x_1}\dot x_1 \dot x_2 + \dfrac{1}{2}G^{-1}G_{, x_2}\dot x_2^2 = 0, \tag{14}$

o, si se quiere, convertida de nuevo en el $u, v$ notación:

$\ddot u - \dfrac{1}{2}G_{, u}\dot v^2 = 0, \tag{15}$

$\ddot v + G^{-1}G_{, u} \dot u \dot v + \dfrac{1}{2}G^{-1}G_{, v}\dot v^2 = 0; \tag{16}$

(15) y (16) de hecho son relativamente simples como geodésica ecuaciones ir.

En cuanto a la longitud $l(\gamma, t_0, t_1)$ de una curva de $\gamma (t)$ entre $\gamma(t_0)$$\gamma (t_1)$, es decir, para $\gamma:[t_0, t_1] \to S$, es como de costumbre dada por la integral de la magnitud del vector tangente $\gamma'(t)$, $\vert \gamma' \vert = \sqrt{\hat g(\dot \gamma, \dot \gamma)}$:

$l(\gamma, t_0, t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\hat g(\dot \gamma, \dot \gamma)} dt; \tag{17}$

en el $u$-$v$ sistema de coordenadas, con la métrica dada por (1), esta expresión también tiene una particular forma simple; tenemos, la escritura de la expresión coordinada de $\gamma(t) = (\gamma^u(t), \gamma^v(t))$, por lo que el $\dot \gamma(t) = \dot \gamma^u(t) (\partial / \partial u) + \dot \gamma^v(t) (\partial / \partial v) $,

$\hat g(\dot \gamma(t), \dot \gamma(t)) = (\dot \gamma^u(t))^2 + G(\gamma^u(t), \gamma^v(t))(\dot \gamma^v(t))^2, \tag{18}$

de dónde

$l(\gamma, t_0, t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{(\dot \gamma^u(t))^2 + G(\gamma^u(t), \gamma^v(t))(\dot \gamma^v(t))^2} dt, \tag{19}$

sí relativamente simple expresión como tal van las cosas.

Espero que esto ayude! ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!