Componentes irreductibles de un conjunto algebraico

Question

Estoy totalmente apilado en cómo hacer este ejercicio : ¿Cómo puedo encontrar los componentes irreducibles de $ V(X^2 - XY - X^2 Y + X^3) $ en $A^2$ (R)?

Dado un conjunto algebraico, ¿cuál es la consideración que tengo que hacer para encontrarlos? Conozco las definiciones de componentes y componentes irreducibles, pero éstas no ayudan a resolver este tipo de ejercicio.

¿Alguien puede sugerir también un buen libro de referencia?

Gracias

Answer 1

Escribe tu polinomio como un producto de polinomios irreducibles. Los lugares de fuga de estos polinomios irreducibles son entonces los componentes irreducibles de su variedad.

Answer 2

$V(f)$ el conjunto cero de un polinomio $f \in R[x,y]$ está dado como un conjunto de puntos tales que $f(x,y) = 0$ . Si este polinomio es reducible, es decir $f=gh$ los puntos $(x_0, y_0)$ en $V(f)$ son tales que $g(x_0, y_0) = 0$ o $h(x_0, y_0) = 0$ . Esto significa que $V(f)$ es una unión de $V(g)$ y $V(h)$ .

En su caso, $f(x,y)=x^2-xy-x^2y+x^3=x(x+1)(x-y)$ . Los ceros de este polinomio son todos los puntos para los que cualquier factor de $f$ es cero. Por lo tanto, vemos que $V(f) = V(x) \cup V(x+1) \cup V(x-y)$ . Geométricamente, podemos imaginar esto en $\mathbb{R}^2$ como unión de tres rectas, el eje y, la diagonal por el origen que pasa por el primer cuadrante y la paralela al eje y que pasa por el punto $(-1,0)$ .

En cuanto a los libros, muy buen libro de introducción a las curvas algebraicas que está disponible gratuitamente es de Fulton: http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf . Una rápida búsqueda en Google también ha dado como resultado estas notas que parecen contener algunos buenos ejemplos y teoremas que ilustran lo que está sucediendo: http://csclub.uwaterloo.ca/~mlbaker/get.php?name=LW-1135-pmath764notes.pdf .