Singularidades de $f(z)=z/\cos(z)$

Question

En cuanto a las funciones complejas (en variables complejas), me preguntaba por qué la función $g(z)= \cos(z)$ tiene una singularidad en $z = \infty$ pero $f(z)= \dfrac{z}{\cos(z)}$ no lo hace.

Estoy un poco confundido sobre el concepto de singularidades en $\infty$ .

Gracias.

Answer 1

Así que, para resumir después de todos estos comentarios:

$g(z)$ efectivamente tiene una singularidad esencial en $z=\infty$ porque la función $h(z)=g\big(\frac1z\big)$ tiene una singularidad esencial en $z=0$ : $$h(z) = \cos\left(\frac1z\right) = 1- \frac1{2!}\left(\frac1z\right)^2 + \frac1{4!}\left(\frac1z\right)^4+ \dots$$ tiene infinitos términos en su expansión de Laurent en $0$ .

Por otro lado, $f(z)$ A pesar de todas las apariencias, no es así. no tienen una singularidad esencial en $\infty$ : $f(z)$ tiene polos en $z=z_n=n\pi + \pi/2$ y $z_n\to\infty$ y así $\infty$ es no un punto singular aislado.

Answer 2

Para $\,\frac1z\,$ "lo suficientemente cerca de cero" ( digamos, $\;\frac1{|z|}<\sqrt[3]6\;$ ) , tenemos

$$f\left(\frac1z\right)=\frac1{z\cos\frac1z}=\frac1z\frac1{\left(1-\frac1{2z^2}+\frac1{24z^4}-\ldots\right)}=$$

$$=\frac1z\left(1+\frac1{2z^2}+\frac1{4z^4}+\ldots\right)=\frac1z+\frac1{2z^3}+\ldots$$

que muestra $\,f(z)\;$ tiene una singularidad en $\,z=\infty\;$