¿El de la curva de Jordan teorema se aplica a los no-curvas cerradas?

Question

Una de la curva de Jordan es un continuo curva cerrada en $\Bbb R^2$, que es simple, es decir, no tiene auto-intersecciones. El Jordán curva teorema establece que el complemento de cualquier Jordania curva tiene dos componentes conectados, un interior y un exterior.

Ahora vamos a definir una desenfrenada curva a ser un mapa continuo $f: (-\infty,\infty)\to\Bbb R^2$ tal que $f((-\infty,0))$ $f((0,\infty))$ son tanto sin límites. Mi pregunta es, ¿el complemento de una simple sin límites de la curva siempre tiene dos componentes conectados? Parece intuitivamente cierto, ya que usted esperaría que la curva tiene dos lados, pero teniendo en cuenta lo que tardó en demostrar el Jordán de la curva de teorema, las cosas pueden no ser tan sencillas como parecen.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

EDIT: Como @dfeuer sugerido, también vamos a exigir que la curva se va hasta el infinito en ambas direcciones. Para hacer esta precisos, digamos que existe dos líneas de $L_1$$L_2$, parametrizadas por $L_1(t) = (a_1 + b_1 t, c_1 + d_1 t)$$L_2(t) = (a_2 + b_2 t, c_2 + d_2 t)$, de tal manera que el límite de$d(f(t), L_1(t))$$t$$-\infty$$0$, y el límite de$d(f(t), L_2(t))$$t$$\infty$$0$. Bajo esa condición, no el complemento de la curva tiene dos componentes conectados?

Answer 1

Considere la curva $\gamma:t\mapsto(e^t,e^{-t}\sin(e^{-t}))$, esta mapas de $\Bbb R$ continuamente y injectively a la gráfica de $\Gamma$ de los map $x\mapsto \frac1x\cdot\sin\left(\frac1x\right)$. La imagen de $(-\infty,0)$ es oscilante con el aumento de la amplitud hacia la $0$, y la imagen de $(0,\infty)$ es claramente ilimitado en la $x$-dirección.

Definir $$C_+=\left\{(x,y)\mid x>0,y>\frac1x\sin\left(\frac1x\right)\right\}\\C_-=\left\{(x,y)\mid x>0,y<\frac1x\sin\left(\frac1x\right)\right\}$$ and $$C_0=(-\infty,0]\times\Bbb R$$

Es fácil probar que todos los $C'$s, cuya unión es el complemento de a $\Gamma$, están trayectoria-conectado y no hay ningún punto en uno de estos conjuntos puede ser unido a un punto en el otro a través de una ruta no de intersección $\Gamma$.

Por otro lado, desde los componentes conectados están cerradas (en $\Bbb R^2-\Gamma$) y $(0,y)\in C_0$ está en el límite de $C_+$ $C_-$ (para arbitrario $y$), se deduce que el $C_-$ $C_+$ no son los componentes conectados de $\Bbb R^2-\Gamma$. Por lo tanto, no es sólo uno de los componentes del complemento.

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Los componentes de $\Bbb R^2-\text{Im}(\gamma)$: $\quad 1$

Ruta-componentes: $\qquad\qquad\,\quad 3$

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