Soluciones de $z^6 + 1 = 0$

Question

Resolver:

$$z^6 + 1 = 0$$

Se encuentran en la región superior del plano.

Sabemos que:

$$(z^2 + 1)(z^4 - z^2 + 1) = 0$$

$$z = -i, i$$

Tenemos que resolver:

$$((z^2)^2 - (z)^2 + 1) = 0$$

$$z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$$

Pero esto es incorrecto. ¿Cómo hacerlo entonces?

Answer 1

Sólo su última línea es incorrecta. Lo que debe escribir es

$$z^2 = \frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}$$

Answer 2

$$z^6=-1=e^{(2n+1)\pi i}$$ where $ n $ es cualquier número entero

$$\implies z=e^{\dfrac{(2n+1)\pi i}6}=\cos\dfrac{(2n+1)\pi}6+i\sin\dfrac{(2n+1)\pi}6$$ where $ 0 \ le n \ le 5 $

Región superior del plano,$\implies$ la ordenada tiene que ser$>0$

$\implies\sin\dfrac{(2n+1)\pi}6>0\implies0<\dfrac{(2n+1)\pi}6<\pi\iff0<2n+1<6\implies-.5< n<2.5$

$\implies n=0,1,2$

Answer 3

La forma más sencilla de resolver esta ecuación es el método basado en DeMoivre la Fórmula de que el Laboratorio de Bhattacharjee descritos.

Dicho esto, usted puede hacer su método de trabajo. Se encuentran las raíces de las $z \pm i$ mediante el ajuste del factor de $z^2 + 1$ igual a cero. Como Rasolnikov y 5xum lo contrario, usted debe haber obtenido

$$z^2 = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$$

cuando se establece el factor de $z^4 - z^2 + 1$ igual a cero.

Deje $z = a + bi$,$a, b \in \mathbb{R}$. Entonces

\begin{align*} z^2 & = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\ (a + bi)^2 & = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\ a^2 + 2abi - b^2 & = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Igualando las partes reales e imaginarias de los rendimientos \begin{align*} a^2 - b^2 & = \frac{1}{2}\tag{1}\\ 2ab & = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{2} \end{align*} Solución de la ecuación 2 por $b$ rendimientos $$b = \frac{\pm\sqrt{3}}{4a}\tag{3}$$ Sustituyendo esta expresión en la ecuación 1 rendimientos \begin{align*} a^2 - \frac{3}{16a^2} & = \frac{1}{2}\\ 16a^4 - 3 & = 8a^2\\ 16a^4 - 8a^2 & = 3\\ 16a^4 - 8a^2 + 1 & = 4 && \text{complete the square}\\ (4a^2 - 1)^2 & = 4\\ 4a^2 - 1 & = \pm 2\\ 4a^2 & = 3 && \text{since %#%#%}\\ a^2 & = \frac{3}{4}\\ a & = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*} Sustituyendo esta expresión en la ecuación 3 rendimientos de las cuatro raíces $a \in \mathbb{R}$$ de la ecuación de $$z = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}i$. Como se puede comprobar, estas raíces corresponden a los valores de $z^4 - z^2 + 1 = 0$ en la fórmula de Laboratorio proporcionados.

Answer 4

Para resolver$\sqrt[2n]{-1}$:

• Dibuja el círculo de la unidad
• Dibuja la primera solución, que obviamente es$0+1i=\cos(\frac{\pi}{2})+\sin(\frac{\pi}{2})i$
• Repita$2n-1$ veces: encuentre la siguiente solución girando la solución anterior$\frac{\pi}{n}$ radianes

Por ejemplo, $\sqrt[6]{-1}$:

• $\cos(\frac{ 3\pi}{6})+\sin(\frac{ 3\pi}{6})i$
• $\cos(\frac{ 5\pi}{6})+\sin(\frac{ 5\pi}{6})i$
• $\cos(\frac{ 7\pi}{6})+\sin(\frac{ 7\pi}{6})i$
• $\cos(\frac{ 9\pi}{6})+\sin(\frac{ 9\pi}{6})i$
• $\cos(\frac{11\pi}{6})+\sin(\frac{11\pi}{6})i$
• $\cos(\frac{13\pi}{6})+\sin(\frac{13\pi}{6})i$