Necesita ayuda para comprender un teorema

Question

He estado leyendo un teorema relacionado con la existencia exterior de la inversa generalizada de una matriz donde tengo ciertas dificultades para entender el teorema.

Teorema es la siguiente.

Deje $A\in\mathbb{C}^{m\times n}$, rango$(A) = r$, y deje $T$ $S$ ser un subespacio de $\mathbb{C^n}$$\mathbb{C^m}$, respectivamente, con $\dim (T )= \dim (S^\perp)=t\leq r$.

A continuación, $A$ $\{2\}$ inverso de X tal que $R(X) = T$ $N(X) = S$ fib uno de los siguientes se satisface la condición (donde $R(X)$ $N(X)$ denots el rango y el espacio nulo de a $X$, respectivamente)

$AT\oplus S$ = $C^{m}$

$P_{S}{^\perp} AT = S^{\perp}$

$A^*S^\perp\oplus T^\perp$ = $C^{n}$

$P_T~ A^*S^\perp = T$

$\{2\}$ - inversa de una matriz $A$ $n\times m$ matriz $X$ satisfactorio de la matriz de la ecuación de $XAX = X$.

Todas las condiciones anteriores son equivalentes.

$P_{L.M}$ representa la proyección sobre el espacio de $L$ paralelo a $M$ mientras $P_{L}$ es sinónimo de proyección ortogonal sobre el sub espacio de $L$ paralelo a $L^\perp$.

Anteriormente he publicado mismo teorema, donde yo no estaba claro acerca de $AT$. Ahora que se borra a mí por la respuesta dada por David mitra .

Necesito una adecuada interpretación de estos términos $P_{S}{^\perp} AT = S^{\perp}$, $P_T~ A^*S^\perp = T$, $A^*S^\perp$. es dado en el teorema de que $AT\oplus S$ = $C^{m}$ eso significa que no debe existir projction operador $P_{AT}{S}$ .E proyección sobre el subespacio $AT$ paralelo a $S$. También tenemos $dim (AT) = \dim S^\perp$.

No necesito pruebas. Tiene alguna relación con la suma directa de los sub espacios y proyección asociado con eso.

Sólo necesito su interpretación. Tengo que usar este teorema para mi propio trabajo. Pero, ¿cómo puedo usar si las cosas no se borran a mí? Realmente necesito ayuda para que yo pueda seguir adelante.

De todo corazón gracias por darme su tiempo precioso.

Answer 1

Pongamos $U=S^{\perp}$. I número de sus cuatro declaraciones de (1) a (4) :

${\rm (1) \ } AT\oplus S = {\mathbb C}^{m}$

${\rm (2) \ } P_{U} AT = U$

${\rm (3) \ } A^*U\oplus T^\perp = {\mathbb C}^{n}$

${\rm (4) \ } P_T~ A^*U = T$

Vamos a mostrar que esas declaraciones son todos equivalentes. Esto será suficiente para mostrar que $(1) \Leftrightarrow (2)$, $(3) \Leftrightarrow (4)$ y $(1) \Leftrightarrow (3)$.

$(1) \Rightarrow (2)$ : Supongamos que (2) es verdadera. Desde $P_U$ es una proyección en $U$, ya tenemos $P_{U} AT \subseteq U$. Ahora (1) implica que los dos subespacios de ${\mathbb C}^m$ tienen la misma dimensión, de modo que sean iguales y (2) de la siguiente manera.

$(2) \Rightarrow (1)$ : Supongamos que (2) es verdadera. Entonces

$${\sf dim}(U)={\sf dim}(T) \geq {\sf dim}(AT) \geq {\sf dim}(P_UAT)={\sf dim} (U)$$

Así que todas las dimensiones son iguales a ${\sf dim}(U)$. Deje $c\in{\mathbb C}^m$. Entonces podemos escribir $c=u+s$,$u\in U,s\in S$. Por (2) $u\in P_U(AT)$ también, así que hay un $t\in T$ tal que $P_U(At)=u$. A continuación,$At=u+s'$, para algunas de las $s'\in S$. Por lo $c=At+s-s'$, y hemos demostrado que ${\mathbb C}^m=AT+S$. Esta suma debe ser directa debido a las dimensiones, y (1) de la siguiente manera.

Así pues, hemos demostrado que $(1) \Leftrightarrow (2)$. La prueba de $(3) \Leftrightarrow (4)$ es similar, en sustitución de $(A,T,U)$$(A^{*},U,T)$.

$(1) \Rightarrow (3)$ : Supongamos que (1) es verdadera. Deje $v\in A^{*}S \cap T^{\perp}$. Tenemos una $s\in S$ tal que $v=A^{*}s$. A continuación,$s\in S \cap (AT)=\lbrace 0 \rbrace$, lo $v=0$. Por lo $A^{*}S \cap T^{\perp}=\lbrace 0 \rbrace$, y los dos subespacios de ${\mathbb C}^m$ debe complementarse unos con otros, debido a las dimensiones. So (3) de la siguiente manera.

$(3) \Rightarrow (1)$ : Supongamos que (3) es verdadera. Si el subespacio $AT+ S$ no es la totalidad de ${\mathbb C}^{m}$, no es un vector distinto de cero $w$ que es ortogonal a este subespacio. A continuación, $w$ es ortogonal tanto a $AT$$S$, e $A^{*}w \in T^{\perp} \cap (A^{*}S^{\perp})$. Por lo $A^{*}w=0$. Desde $w\in S^{\perp}$, podemos deducir ${\sf dim} (A^{*}S^{\perp})<{\sf dim} (S^{\perp})$. Pero, a continuación,${\sf dim} (A^{*}S^{\perp})+{\sf dim}(T^{\perp})<n$, y la suma en (3) no puede ser directa. Esto demuestra que $AT+ S={\mathbb C}^{m}$, y la suma debe ser directo, debido a las dimensiones. QED