¿Cuáles serían las consecuencias de la prueba de Riemann ' hipótesis de s para Legendre ' conjetura de s?

Question

He oído en alguna parte que la hipótesis de Riemann no implican conjetura de Legendre. ¿Pero si la hipótesis de Riemann es verdad, un intervalo tal vez un poco más de $[n^2,(n+1)^2]$ contendría siempre al menos un primer?

Answer 1

Sí. En particular, Cramér demostrado que en virtud de RH, el primer lagunas $O(\sqrt x\log x)$ y esto puede hacerse en efectivo, con un resultado de Schoenfeld. Así que usted es 'sólo' por un factor de aproximadamente el $\frac{\log x}{4\pi}$ una vez RH.

1. Harold Cramér, Algunos teoremas sobre los números primos, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 15, #5 (1920), pp 1-32.
2. Lowell Schoenfeld, más Nítida de los límites para la Chebyshev funciones θ(x) y ψ(x). II, las Matemáticas de la Computación 30:134 (1976), pp 337-360.

Answer 2

Como mi predecesor digo sí a la pregunta. Sin embargo, con respecto a la de Legendre y de Cramer conjeturas hay un libro que presenta las pruebas reales. Su informe puede encontrarse en:

https://www.kirkusreviews.com/Book-reviews/Jan-feliksiak/The-Symphony-of-primes-Distribution-of-primes-and-/